Определитель произведения нескольких матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц

Достаточно доказать эту теорему для случая двух матриц. Пусть даны матрицы л-ro порядка А —(а ₍.у) и В*=(Ьц) и пусть АВ = = C—{c_ij). Построим следующий вспомогательный определитель А порядка 2/г. в его левом верхнем углу поставим матрицу А, в пра­вом нижнем — матрицу В, весь правый верхний угол займем нулями и, наконец, по главной диагонали левого нижнего угла поставим число — 1, заняв все остальные места также нулями. Определитель А имеет, следовательно, такой вид:

Применение к определителю А теоремы Лапласа — разложение по первым п срокам — приводит к следующему равенству:

Д = |Л|.|В|. (4)

Попытаемся, с другой стороны, так преобразовать определитель А, не меняя его значения, чтобы все элементы b_if, i, j= 1, 2,...., п, оказались замененными нулями. Для этой цели к (я-f 1)-му столбцу определителя А прибавим его первый столбец, умноженный на Ь_1Ъ второй, умноженный на Ь₂₁, и т. д., наконец я-й столбец, умножен­ный на Ь_п1. Затем к (л + 2)-му столбцу определителя А прибавим первый столбец, умноженный на Ь₁₂, второй, умноженный на Ь₂₂, и т. д. Вообще, к («+ j)-му столбцу определителя А, где j = = 1, 2,..., п, мы прибавим сумму первых я столбцов, взятых, со­ответственно, с коэффициентами Ь_1}-, b_2j,..., b_nj.