 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Тивности остается справедливым и для умножения прямоугольных матриц
Мы воспользуемся сейчас умножением прямоугольных матриц и свойствами обратной матрицы для нового вывода правила Крамера, не требующего тех громоздких вычислений, какие проводились в § 7. Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:
«и*1 + й12*2 + • • • + а1яхп= Ьг,
а2\Х1 “Ь аъ%хъ • • • Ч- а2пХп ~ ^2> (^
ат х1 + aMxt +... + аппхп=Ьп
причем определитель этой системы отличен от нуля. Обозначим через А матрицу из коэффициентов системы (6); эта матрица невырожденная, так как, по предположению, й?==|Л|^=0. Обозначим далее через X столбец из неизвестных, через* В —столбец из свободных членов системы (6), т„ е.
Х=, В=
Произведение АХ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матриц X, причем это произведение будет столбцом, составленным из левых частей уравнений системы (6). Таким образом, систему (6) можно записать в виде одного матричного уравнения
АХ=В. (7)
Умножая обе части уравнения (7) слева на матрицу Л-1, существование которой вытекает из невырожденности квадратной матрицы А, мы получим:
Х=А~1В. (8)
Произведение, стоящее справа, будет матрицей из одного столбца; ее у'-й элемент равен сумме произведений элементов у'-й строки матрицы А~1 на соответственные элементы матрицы В, т. е. равен числу
~J^i + ~сГ + • ■ • + ~irbn = T + ^2*А + ■ • • + AiA»)-
Скобка, стоящая справа, является, однако, разложением по у-му столбцу определителя d., получающегося заменой у-го столбца определителя d столбцом В. Таким образом, формулы (8) равносильны
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
формулам (3) из § 7, выражающим решение системы (6), получающееся по правилу Крамера.
Остается показать, что полученные значения неизвестных действительно составляют решение системы (6). Для этого достаточно выражение (8) подставить в матричное уравнение (7), что, очевидно, приводит к тождеству В=В.
Ранг произведения матриц. Теорема об умножении определителей не приводит в случае вырожденных матриц ни к какому высказыванию сверх того, что их произведение также будет вырожденным, хотя вырожденные квадратные матрицы можно еще различать по их рангам. Заметим, что не существует вполне определенной зависимости между рангами сомножителей и рангом произведения, как показывают следующие примеры:
{2 0\ /0 0N /'О 0\
\о о) ‘ Vo зу Vo о) ’
в обоих случаях перемножаются матрицы ранга 1, однако в одном случае произведение имеет ранг 1, в другом — ранг 0. Справедлива, притом не только для квадратных, но и для прямоугольных матриц, лишь следующая теорема. *
Ранг произведения матриц не выше ранга каждого из сомножителей.
Достаточно доказать эту теорему для случая двух множителей. Пусть даны матрицы А к В, для которых произведение АВ имеет смысл; обозначим АВ = С. Рассмотрим формулу (3) § 13, дающую выражение элементов матрицы С. Беря эту формулу для данного k и всех возможных i (г = 1, 2,...), мы получаем, что /г-й столбец матрицы С является суммой всех столбцов матрицы А, взятых с некоторыми коэффициентами (а именно с коэффициентами b ik, b2k,...). Этим доказано, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, а поэтому, как показано в § 9, ранг первой системы меньше или равен рангу второй системы; иными словами, ранг матрицы С не больше ранга матрицы А. Так как, с другой стороны, из той же формулы (3) § 13 при данном / и всех k вытекает, что всякая г-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В, то аналогичными рассуждениями мы получим, что ранг С не выше ранга В.
Более точный результат имеет место для случая,-когда один из множителей является невырожденной квадратной матрицей:
Ранг -произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. Пусть, например,
Из предшествующей теоремы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Умножая, однако, равенство (9) справа на Q-1, мы придем к равенству
A = CQ~\
а поэтому, снова на основании предшествующей теоремы, ранг А не выше ранга С. Сопоставление этих двух результатов доказывает совпадение рангов матриц А я С.
§ 15. Сложение матриц и умножение матрицы на число
Для квадратных матриц порядка п следующим образом определяется сложение:
Суммой А + В двух квадратных матриц А = (aij) и В = (btj) порядка п называется матрица C=(cij), всякий элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А я В;
Определенное нами сложение матриц будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным. Для него существует обратная операция — вычитание, причем разностью матриц Л и В служит матрица, составленная из.разностей соответственных элементов заданных матриц. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная сплошь из нулей; в дальнейшем эта матрица обозначается символом 0: нет серьезной опасности смешать нулевую матрицу с числом нуль.
Сложение квадратных матриц и цх умножение, определенное в § 13, связаны законами дистрибутивности.
В самом деле, пусть даны три матрицы порядка п, А = (ац), B=(b;j), С = (с;у). Тогда для любых i и j имеет место очевидное равенство
П П П
20 к-, ^sf 2 2
S=1 S =1 S=l
Однако левая часть этого равенства есть элемент, стоящий в г-й строке и j -м столбце матрицы (Л+5) С, правая часть — элемент, стоящий на этом же месте в матрице АС-\-ВС. Этим доказано равенство
(А + В)С = АС+ВС.
Равенство С(А-\- В) = СА-\-СВ доказывается таким же путем — некоммутативность умножения матриц требует, понятно, доказательства этих обоих законов дистрибутивности.
г) Можно было бы, конечно, и произведение матриц определить столь же естественным способом, перемножая соответственные элементы. Такое умножение, однако, в отличие от того, которое определено в § 13, не нашло* бы никаких серьезных применений.
Введем следующее определение умножения матриц на число. Произведением kA квадратной матрицы А = (а^ на число k называется матрица А' — (а'р, получающаяся умножением на k всех элементов матрицы А;
С одним примером такого умножения матрицы на число мы уже встречались в предшествующем параграфе: если матрица А невырожденная, причем \A\ = d, то ее обратная матрица А~ 1 и присоединенная матрица А* связаны равенством
A~1 = d~1A*.
Как мы знаем, всякую квадратную матрицу порядка п можно рассматривать как я2-мерный вектор, причем это соответствие между матрицами и векторами взаимно однозначное. Определенные сейчас сложение_матриц и умножение матрицы на число превращаются при этом в сложение векторов и умножение вектора на число. Таким образом, совокупность квадратных матриц порядка п можно рассматривать как п2-мерное векторное пространство.
Отсюда вытекает справедливость следующих равенств (здесь А, В —матрицы порядка п; k, I —числа, 1 — число единица):
k(A + B) = kA + kB, (1)
(k+l)A = kA + lA, (2)
k(lA) = (kl)A, (3)
21 А = А. (4)
Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует, вместе с тем, очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц, а именно:
(kA) В —A (kB) = k (АВ), (5)
т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число k, то и все произведение будет умножаться на k.
В самом деле, пусть даны матрицы Л = (а/;) и B=(bjj) и число k. Тогда для любых i и j будет:
П П
6. ikais) bsj=k 2 «/А/-
S=1 S=1
Левая часть этого. равенства есть, однако, элемент, стоящий в г-й строке и J-м столбце матрицы (kA) В, правая часть —элемент,
стоящий на этом же месте в матрице k{AB). Этим доказано равенство
(kA)B=k(AB).
Равенство A(kB) = k(AB) доказывается таким же путем.
Операция умножения матрицы на число позволяет ввести новый способ записи матриц. Обозначим через Ец матрицу, в которой на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит единица, а все остальные элементы равны нулю. Полагая г = 1,2,..., п и j== 1, 2, мы получим п 2 таких матриц Etj, которые связаны, как легко проверить, следующей таблицей умножения:
^*i/> sEtj — § при S=£d.
Матрица kE{j отличается от матрицы Etj лишь тем, что в ней на пересечении i-й строки и j -го столбца стоит число k. Учитывая это и используя определение сложения матриц, мы получаем следующую запись для произвольной квадратной матрицы А:
/ а11 а12 • • • а1п \ п п
А = I “21_ “22. S S ацЕф (6)
\ап1 ап2 ' * ' апп /
причем матрица Л обладает, очевидно, лишь единственной записью вида (6).
Матрица НЕ, где Е -^единичная матрица, имеет, по определению, умножения матрицы на число, следующий вид:
т. е. на главной диагонали стоит одно и то же число k, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Такие матрицы называются скалярными.
Определение сложения матриц приводит к равенству
kE+lB=(k + l)E. (7)
С другой стороны, используя определение умножения матриц или же опираясь на равенство (5), получаем:
kE‘lE=(kI)E.. (8)
Умножение матрицы А на число k можно истолковать как умножение А на скалярную матрицу kE в смысле перемножения матриц. Действительно, по (5),
(kE).A = A{kE)=*kA.
Отсюда вытекает также, что всякая скалярная матрица перестановочна с любой матрицей А. Очень важно, что скалярные матрицы являются единственными, обладающими этим свойством:
Если некоторая матрица С= п-го порядка перестановочна с любой матрицей этого же порядка, то матрица С скалярна.
В самом деле, положим i Ф j и рассмотрим равные между собой, по условию, произведения СЕi}- и Е^С (см. выше определение матрицы Ец). Легко видеть, что все столбцы матрицы СЕц, кроме у-го, состоят из нулей, a j -й столбец совпадает с t-м столбцом матрицы С; в частности, на пересечении t-й строки и j -го столбца матрицы СЕц стоит элемент ci{. Аналогично все строки матрицы E{jC, кроме t-й, состоят из нулей, а t-я строка совпадает с j -й строкой матрицы С; на пересечении t-й строки и j -го столбца матрицы Е^С расположен элемент с;у. Используя равенство СЕ1} = ЕцС, мы получаем, что Cu*=Cjj (как элементы, стоящие в равных между собой матрицах на одинаковых местах), т. е. все элементы главной диагонали матрицы С равны между собой. С другой стороны, на пересечении j -й строки и /-го столбца матрица СЕ^ стоит элемент Cj{; но в матрице ЕцС на этом же месте стоит нуль (ввиду i j), и поэтому Cji — 0, т. е. всякий элемент матрицы С, расположенный вне главной диагонали, равен нулю. Теорема доказана.
§ 16*. Аксиоматическое построение теории определителей
Определитель п -го порядка является числом, однозначно определяемым данной квадратной матрицей n-го порядка. Определение этого понятия, приведенное в § 4, указывает правило, по которому определитель выражается через элементы заданной матрицы. Это конструктивное определение можно, однако, заменить аксиоматическим; можно, иными словами, среди свойств определителя, установленных в §§ 4 и 6, указать такие, что единственной функцией матрицы с действительными значениями, обладающей этими свойствами, будет ее определитель.
Простейшее определение такого рода состоит в использовании разложений определителя по строке. Рассматриваем квадратные матрицы любых порядков и предполагаем, что всякой такой матрице М поставлено в соответствие число dM, причем выполняются следующие условия:
22 Если матрица М первого порядка, т. е. состоит из одного элемента а, то dm~a.
23 Если первую строку матрицы я-го порядка М составляют элементы аи, а12,..., а1п и если через, M{i = 1, 2,...,п, обозначена матрица (п — 1)-го порядка, остающаяся после вычеркивания из М первой строки и t-ro столбца, то
аХ 2 ^Д 1, +Д13^Л1з •••'+(1)” 1 а 1 п^ль, •
Тогда для всякой матрицы М число dM равно определителю этой матрицы. Мы предобтавляем читателю доказательство этого утверждения, проводящееся индукцией по л и использующее результаты § 6.
Много более интересны другие формы аксиоматического определения определителя, относящиеся к случаю лишь одного данного порядка л и имеющие в своей основе некоторые из установленных в § 4 простейших свойств определителя. Мы приступим сейчас к рассмотрению одного из таких определений.
Пусть всякой квадратной матрице М л-го порядка поставлено в соответствие число &т причем выполняются следующие условия:
24 Если одна из строк матрицы М умножается на число ft, то число dM также умножается на к.
25 Число dm не меняется, если к одной из строк матрицы М прибавляется другая строка этой матрицы.
26 Если Е—единичная матрица, то dE= 1.
Докажем, что для любой матрицы М ч&сло dM равно определителю этой матрицы.
Выведем сначала из условий 1 —111 некоторые свойства числа dM, аналогичные соответствующим свойствам определителя.
7. Если одна из строк матрицы М состоит из нулей, то dм~ 0 -
В самом деле, умножая строку, состоящую из нулей, на число 0, мы не медяем матрицу, но, ввиду условия I, число dM приобретает множитель 0. Поэтому
dM=0'dM=0.
8. Число dM не меняется, если к i-й строке матрицы М прибавляется ее j-я строка, j^i, умноженная на число k.
Если ft—0, то все доказано. Если же ft = 5 ^ 0, то умножаем j -ю строку на ft и получаем матрицу М’, для которой, ввиду условия I, dM' — kdM. Затем к г-й строке матрицы М' прибавляем ее /-ю строку и получаем матрицу М ", причем, ввиду условия 11, dM"^=dM‘. Наконец, умножаем j -ю строку матрицы М" на число ft-1. Мы приходим к матрице М"', которая в действительности получена из Ж преобразованием, указанным в формулировке доказываемого свойства, причем
d-’ ’ ’ —— k " — ft ^Ai ’ -— ft ^ * ft —‘
9. Если строки матрицы M линейно зависимы, то dfl= 0.
Действительно, если одна из строк, например г'-я, будет линейной комбинацией других строк, то, применяя несколько раз преобразование (2), можно г-ю строку заменить строкой из нулей. Преобразование (2) не меняет числа dM, а поэтому ввиду свойства (1) dm= 0.
27 Если i-я строка матрицы М является суммой двух векторов Р и у и если матрицы М' и М" получены из матрицы М заменой ее i-й строки соответственно векторами $ и у, то
^м' dM".
В самом деле, пусть S будет система всех строк матрицы М, кроме i-й. Если в S существует линейная зависимость, то линейно зависимы строки каждой из матриц М, М и М”, а поэтому, по свойству (3), djl = dM’ = dM" = 0, откуда следует справедливость в этом случае доказываемого свойства. Если же система S, состоящая из п — 1 вектора, линейно независима, то, как показывают результаты § 9, ее мэжно дополнить некоторым вектором а до максимальной линейно независимой системы векторов л-мерного векторного пространства. Через эту систему можно линейно выразить векторы р и у. Пусть вектор а входит в эти выражения с коэффициентами k и, соответственно, /; в выражение для вектора p+Yi т- е- для i-й строки матрицы М, вектор а будет входить, следовательно, с коэффициентом А + /. Матрицы М, М' и М” можно теперь преобразовать, вычитая из их i-x строк некоторые линейные комбинации других строк так, что их i-ми строками будут служить соответственно векторы (& + /) а, /га и /а. Поэтому, обозначая через М° матрицу, получающуюся из матрицы М заменой ее i-й строки вектором а, и учитывая свойства (2) и I, мы приходим к равенствам:
~ "Ь 0 ^м<>, dM’. = kdM<>, dM" = ldMi>-
Этим свойство (4) доказано.
28 Если матрица М получена из матрицы М транспозицией двух строк, то d^ = — dM.
Пусть, в самом деле, в матрице М нужно переставить строки с номерами i и Этого можно достичь цепочкой следующих преобразований: сначала к i-й строке матрицы М прибавляем ее /-ю строку и получаем матрицу М', причем, по условию IF, du' — d^. Затем из /-й строки матрицы М вычитаем ее i-ю строку и приходим к матрице М", для которой, ввиду свойства (2), будет dM'' — dM'', j -я строка матрицы М" будет отличаться знаком от i-й строки матрицы М. Прибавим теперь к i-й строке матрицы М" ее у'-ю строку. Для матрицы М'", которую мы получим этим преобразованием, будет, по условию II, = причем i-я строка этой матрицы совпадет с /-й строкой матрицы М. Умножая, наконец, j -ю строку матрицы М" на число — 1, мы придем к искомой матрице Ж. Поэтому, ввиду условия I,
29 Если матрица М' получена из матрицы М перестановкой строк, причем i-й строкой матрицы М', i — 1, 2,..., п, служит а(-я строка матрицы М, то
dw — i jj
Поиск по сайту: