Авто Автоматизация Архитектура Астрономия Аудит Биология Бухгалтерия Военное дело Генетика География Геология Государство Дом Другое Журналистика и СМИ Изобретательство Иностранные языки Информатика Искусство История Компьютеры Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Музыка Население Образование Охрана безопасности жизни Охрана Труда Педагогика Политика Право Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Регилия Связь Социология Спорт Стандартизация Строительство Технологии Торговля Туризм Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Ценнообразование Черчение Экология Эконометрика Экономика Электроника Юриспунденкция

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы

Читайте также:

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен г. Предположим,— что не нарушает

sit

общности доказательства,— что минор л-го порядка D, стоящий в левом верхнем углу матрицы

А —


	«И	... а_1г		^а1,Г + 1	^аШ
		D....
	^ап	... а_гг		^аг, г + 1	^агп
^аг ₊ 1,	1 ••• ^аг + 1,	г ^аг+ 1, /■ +1	•• ^аг + 1,	п
[ ^asl	... d_gr		^as, г + 1	•• ^asn	.

отличен от нуля, ИфО. Тогда первые г столбцов матрицы А будут между собой линейно независимыми: если бы между ними существовала линейная зависимость, то, так как при сложении векторов складываются соответствующие компоненты, между столбцами минора D существовала бы эта же линейная зависимость и поэтому минор D был бы равен нулю.

Докажем теперь, что всякий /-й столбец матрицы А, г<С1^п, будет линейной комбинацией первых г столбцов. Берем любое i,

2 ^ г s, и строим вспомогательный определитель (г+ 1)-го порядка

^Й11 • ^аи ^аи

А/—

^ап • ^агг ^ап

^аи • ^air ^аи

получающийся «окаймлением» минора D соответствующими элементами I-то столбца и /-й строки. При любом i определитель А,- равен нулю. Действительно, если <>/■, то A_f будет минором (r-fl)-ro порядка нашей матрицы А и поэтому равен нулю ввиду выбора числа г. Если же i^r, то А,- уже не будет минором матрицы А, так как не может быть получен вычеркиванием из этой матрицы некоторых ее строк и столбцов; однако определитель A_f будет содержать теперь две равные строки и, следовательно, снова равен нулю.

Рассмотрим алгебраические дополнения элементов последней строки определителя А,-. Алгебраическим дополнением для элемента а₍-

служит, очевидно, минор D. дополнением для элемента

^аН

*i, 1-1 “ 1, /+1

А; = {— 1)⁽'⁺¹>⁺''

^ar,]~\ ^ar, 1+1

оно не зависит от i и поэтому обозначено через Aj. Таким образом, разлагая определитель А,- по его последней строке и приравнивая это разложение нулю, так как А₍= 0, мы получим:

Если же 1 /Сг, то в А,- будет число

алгебраическим

^aa^Ai~

■ а

А-г + + ^air^Ar -\-^ацО — О»

откуда, ввиду БФ 0,

А 1 А% А_г

^аИ⁼ £Г ^ail J) ^aii ' • ■ • ^air■

А А А

соответственно, с коэффициентами —..., — -jj.

Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли максимальную линейно независимую подсистему, состоящую из г столбцов. Этим доказано, что ранг матрицы А равен г, т. е. доказана теорема о ранге.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линейной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независимых векторов нашей системы.

Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге, требует вычисления хотя и конечного, но, быть может, очень большого числа миноров этой матрицы. Следующее замечание позволяет, однако, внести в этот метод значительные упрощения. Если читатель просмотрит еще раз доказательство теоремы о ранге, то заметит, что мы не использовали при его проведении равенства нулю всех миноров (r-f-l)-ro порядка матрицы А —в действительности употреблялись лишь те миноры (г+ 1)"^го порядка, которые окаймляют данный не равный нулю минор r-го порядка D (т. е. содержат его целиком внутри себя), и поэтому из равенства нулю лишь эгих миноров вытекает, что г есть максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А; последнее же влечет за собой равенство нулю вообще всех миноров (г+ 1)-го порядка этой матрицы. Мы приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (к-\-\)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры.

3 Найти ранг матрицы

— 4 0>

—2 —4

— 1

—7 —4

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен нулю. Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры второго порядка, например

. -4 3

-2 1

Минор третьего порядка

d' =

окаймляющий минор d, отличен от нуля, d' = 1, однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор d', равны нулю:

—4 —4

—2 —4 == 0, —2

—1 —1

—7 —4 —7

= 0.

Таким образом, ранг матрицы А равен трем.

2. Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов

а_{1 =} (2, -2, -4), а₂ = (1, 9, 3), а₃ = (-2, -4, 1), а₄=(3, 7, -1).

Составляем матрицу

2 1 —2

4 9 —4 -4 3 1

для которой данные векторы служат столбцами. Ранг этой матрицы равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что векторы а*, а₂ составляют в заданной системе одну из максимальных линейно независимых подсистем.

В качестве следствия из теоремы о ранге матрицы докажем утверждение, уже высказанное ранее:

Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Для доказательства транспонируем матрицу, т. е. сделаем ее строки столбцами, сохраняя их нумерацию. При транспонировании максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы не может измениться, так как транспонирование не меняет определителя, а для всякого минора исходной матрицы минор, полученный из него транспонированием, содержится в новой матрице, и обратно. Отсюда следует, что ранг новой матрицы равен рангу исходной матрицы; он равен, вместе с тем, максимальному числу линейно независимых столбцов новой матрицы, т. е. максимальному числу линейно независимых строк исходной матрицы.

7*0.

-1

откуда, ввиду БФ 0,

А 1 А% А_г

^аИ⁼ £Г ^ail J) ^aii ' • ■ • ^air■

Это равенство справедливо при всех i, i— 1, 2, а так как

его коэффициенты от i не зависят, то_г мы получаем, что весь /-й столбец матрицы А будет суммой ее первых г столбцов, взятых,

А А А

соответственно, с коэффициентами —..., — -jj.

Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли максимальную линейно независимую подсистему, состоящую из г столбцов. Этим доказано, что ранг матрицы А равен г, т. е. доказана теорема о ранге.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линейной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независимых векторов нашей системы.

Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге, требует вычисления хотя и конечного, но, быть может, очень большого числа миноров этой матрицы. Следующее замечание позволяет, однако, внести в этот метод значительные упрощения. Если читатель просмотрит еще раз доказательство теоремы о ранге, то заметит, что мы не использовали при его проведении равенства нулю всех миноров (r-f-l)-ro порядка матрицы А —в действительности употреблялись лишь те миноры (г+ 1)"^го порядка, которые окаймляют данный не равный нулю минор r-го порядка D (т. е. содержат его целиком внутри себя), и поэтому из равенства нулю лишь эгих миноров вытекает, что г есть максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А; последнее же влечет за собой равенство нулю вообще всех миноров (г+ 1)-го порядка этой матрицы. Мы приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (к-\-\)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры.

5 Найти ранг матрицы

— 4 0>

—2 —4

— 1

—7 —4

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен нулю. Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры второго порядка, например

. -4 3

-2 1

Минор третьего порядка

d' =

окаймляющий минор d, отличен от нуля, d' = 1, однако оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор d', равны нулю:

—4 —4

—2 —4 == 0, —2

—1 —1

—7 —4 —7

= 0.

Таким образом, ранг матрицы А равен трем.

2. Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов

а_{1 =} (2, -2, -4), а₂ = (1, 9, 3), а₃ = (-2, -4, 1), а₄=(3, 7, -1).

Составляем матрицу

2 1 —2

6 9 —4 -4 3 1

для которой данные векторы служат столбцами. Ранг этой матрицы равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что векторы а*, а₂ составляют в заданной системе одну из максимальных линейно независимых подсистем.

В качестве следствия из теоремы о ранге матрицы докажем утверждение, уже высказанное ранее:

Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Для доказательства транспонируем матрицу, т. е. сделаем ее строки столбцами, сохраняя их нумерацию. При транспонировании максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы не может измениться, так как транспонирование не меняет определителя, а для всякого минора исходной матрицы минор, полученный из него транспонированием, содержится в новой матрице, и обратно. Отсюда следует, что ранг новой матрицы равен рангу исходной матрицы; он равен, вместе с тем, максимальному числу линейно независимых столбцов новой матрицы, т. е. максимальному числу линейно независимых строк исходной матрицы.

7*0.

-1

РАНГ МАТРИЦЫ

Пример. В§8 уже было введено понятие линейной формы от п неизвестных и. определено сложение линейных форм и их умножение на число. Это определение позволяет перенести на линейные формы понятие линейной зависимости со всеми его свойствами.

Пусть дана система линейных форм

/ 1 = *1 + 2*2 + *з + 3д:₄,

/₂ = 4*!— *₂— 5*з — 6 *₄,

*1—3*2 4*g 7*4,

/₄ = 2*!+ * 2 — *₃.

Нужно выделить в ней максимальную линейно независимую подсистему. Составим матрицу из коэффициентов этих форм:

и найдем ее ранг. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но, как легко проверить, все четыре минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что первые две строки нашей матрицы линейно независимы, а третья и четвертая будут их линейными комбинациями. Система /_х, /₂ будет, следовательно, искомой подсистемой заданной системы линейных форм.

Укажем еще одно важное следствие из теоремы о ранге матрицы.

Определитель п-го порядка тогда и. только тогда равен нулю, если между его строками существует линейная зависимость.

В одну сторону это утверждение уже доказано в § 4 (свойство 8). Пусть теперь нам дан определитель п- го порядка, равный нулю, т. е. дана, иными словами, квадратная матрица л-го порядка, единственный минор которой, имеющий максимальный порядок, равен нулю. Отсюда следует, что наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы меньше л, т. е. ранг меньше л, а поэтому, на основании доказанного выше, строка этой матрицы линейно зависимы.

Понятно, что в формулировке доказанного сейчас следствия можно вместо строк говорить о столбцах определителя.

Для вычисления ранга матрицы существует еще один метод, не связанный с теоремой о ранге и не требующий вычисления определителей. Он применим, впрочем, только в том случае, если мы хотим знать лишь самый ранг и не интересуемся тем, какие именно столбцы (или строки) составляют максимальную линейно независимую систему. Изложим этот метод.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

7 перемена мест (транспозиция) двух строк или двух столбцов;

8 умножение строки (или столбца) на произвольное отличное от нуля число;

(с) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Легко видеть, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Действительно, если эти преобразования применяются, например, к столбцам матрицы, то система столбцов, рассматриваемых как векторы, заменяется эквивалентной системой. Докажем это лишь для преобразования (с), так как для (а) и (Ь) это очевидно. Пусть к i-му столбцу прибавляется /-й столбец, умноженный на число k. Если столбцами матрицы до преобразования служили векторы

сц а«. • • ■. а/. ■ • •. ««.

то после преобразования столбцами матрицы будут векторы сх_х,..., а_г = а,- + Аау,..., а^,..., а„.

Система (2) линейно выражается через систему (1), а равенство

а,- = a_t — ka/

(1)

(2)

показывает, что система (1), в свою очередь, линейно выражается через (2) Эти системы, следовательно, эквивалентны, и поэтому И? максимальные линейно независимые подсистемы состоят из одинакового числа векторов.

Таким образом, при вычислении ранга матрицы можно предварительно ее упростить при помощи некоторой комбинации элементарных преобразований.

Говорят, что матрица, содержащая s строк и п столбцов, имеет диагональную форму, если все ее элементы равны нулю, кроме элементов а,,, а₂₂, ...,а_ГГ (где 0< г < min (s, ri)), равных единице. Ранг этой матрицы равен, очевидно, г.

Всякую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональной форме.

В самом деле, пусть дана матрица

Если все ее элементы равны нулю, то она уже имеет диагональную форму. Если же в ней есть элементы, отличные от нуля, то транспозицией строк и столбцов можно добиться того, чтобы элемент а_и был отличен от нуля. Умножая затем первую строку на a~f, мы превратим элемент а_п в единицу. Если мы вычтем теперь из /-го столбца, / > 1, первый столбец, умноженный на a_xj. то элемент а,₇- будет заменен нулем. Делая это преобразование со всеми столбцами, начиная со второго, а также со всеми строками, мы придем к матрице вида

Совершая такие же преобразования с матрицей, остающейся в правом нижнем углу, и т. д., мы после конечного числа шагов придем к диагональной матрице, имеющей тот же ранг, что и исходная матрица А.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы нужно элементарными преобразованиями привести эту матрицу к диагональной форме и подсчитать число единиц, стоящих в последней на главной диагоНалй,

Пример. Найти ранг матрицы

О 2—4 -1 —4 5

9 1 7

О 5 —10.230

Переставляя в этой матрице первый и второй столбец, а затем умножая

мы придем к матрице 1 0 — 2 ^

—4 -1

— 10

0,

Прибавляя к ее третьему столбцу удвоенный первый столбец, а затем прибавляя некоторое кратное новой первой строки к каждой из остальных строк, мы получим матрицу

( 1 O'!

—1 —3

6,

Умножая, наконец, вторую строку на —1, вычитая из третьего столбца утроенный второй столбец, а затем вычитая из третьей и пятой строк некоторые кратные новой второй строки, мы придем к искомой диагональной форме

O'»

,0 0,

Таким образом, ранг матрицы А равен двум.

В гл. 13 мы еще раз встретимся с элементарными преобразованиями и диагональной формой матриц; это будут, впрочем, матрицы, элементами которых являются не числа, а многочлены.

§ 11. Системы линейных уравнений

Мы переходим к изучению произвольных систем линейных уравнений, причем уже не делаем предположения, что число уравнений системы равно числу неизвестных. Наши результаты будут, впрочем, применимы и к тому случаю (оставленному в § 7 без рассмотрения), когда число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен нулю.

первую строку на число

Пусть дана система линейных уравнений

«11*1 + 012 * 2 + •• • +e_lBx_e = 0 i,

^агА + ^а22*2 + • • • + ^аы^хп —

^asl^X 1 + ^а,2*2 + • • • + ^п^Хп = Ь'.

Как мы знаем из § 1, прежде всего следует решить вопрос о совместности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу А из коэффициентов системы и «расширенную» матрицу А, полученную присоединением к А столбца из свободных членов,

/^й11 ^а12 • ■ ■ ^aln

А = I ^в21 ^й22 • • • ^а2п ^2 I

1 •’

\а_а a_s2... a_sn b_s/

и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы А либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего. В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в матрице А. Если она сохраняет и свойство максимальности, т. е. столбец из свободных членов через нее линейно выражается, то ранги матрицы А и Л равны; в противоположном случае, присоединяя к этой системе столбец из свободных членов, мы получаем линейно независимую систему столбцов матрицы А, которая будет в ней максимальной.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера — Капелли. Система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы А равен рангу матрицы А.

Доказательство. 1. Пусть система (1) совместна и пусть k_lt k₂,...,k_n будет одним из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (1), мы получим s тождеств, которые показывают, что последний столбец матрицы А является суммой всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами k_x, k₂,..., k_n. Всякий другой столбец матрицы А входит и в матрицу А и поэтому линейно выражается через все столбцы этой матрицы. Обратно, всякий столбец матрицы А является столбцом и в А, т. е. линейно выражается через столбцы этой матрицы. Отсюда следует, что системы столбцов матриц А и А эквивалентны между собой, а поэтому, как доказано в конце § 9, обе эти системы s-мерных векторов имеют один и тот же ранг; иными словами, ранги матриц А и А равны между собой.

2. Пусть теперь дано, что матрицы А и А имеют равные ранги. Отсюда следует, что любая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы А остается максимальной линейно независимой системой и в матрице А. Таким образом, через эту систему, а поэтому и вообще через систему столбцов матрицы А, линейно выражается последний столбец матрицы А. Существует, следовательно, такая система коэффициентов k_lt k₂, k_n, что сумма столбцов матрицы А, взятых с этими коэффициентами, равна столбцу из свободных членов, а потому числа k_lt k₂,..., k_n составляют решение системы (1). Таким образом, совпадение рангов матриц Л и А влечет за собой совместность системы (1).

Теорема полностью доказана. При ее применении к конкретным примерам необходимо вычислить сперва ранг матрицы А, для чего найти один из тех отличных от нуля миноров этой матрицы, что все миноры, его окаймляющие, равны нулю; пусть это будет минор М. После этого следует вычислить все миноры матрицы А, окаймляющие М, но в А не содержащиеся (так называемые характеристические определители системы (1)). Если они все равны нулю, то ранг матрицы А равен рангу матрицы А и потому система (1) совместна, в противоположном случае она несовместна. Таким образом, теореме Кронекера—Капелли можно дать такую формулировку: система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, если все ее характеристические определители равны нулю.

Предположим теперь, что система (1) совместна. Теорема Кронекера—Капелли, при помощи которой мы устанавливаем совместность этой системы, утверждает существование решения; она не дает, однако, никакого способа для практического разыскания всех решений системы. К этой задаче мы сейчас переходим.

Пусть матрица А имеет ранг г. Как доказано в предшествующем параграфе, г равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы А. Пусть, для определенности, первые г строк матрицы А линейно независимы, а каждая из остальных будет их линейной комбинацией. Тогда первые г строк матрицы А также будут линейно независимыми: всякая линейная зависимость между ними была бы линейной зависимостью и между первыми г строками матрицы А (вспомнить определение сложения векторов!). Из совпадения рангов матриц АиА следует, далее, что первые г строк матрицы А составляют в ней максимальную линейно независимую систему строк, т. е.всякая другая строка этой матрицы будет их линейной комбинацией.

Отсюда следует, что всякое уравнение системы (1) можно представить как сумму первых г уравнений, взятых с некоторыми коэффициентами, а поэтому любое общее решение первых г уравнений

будет удовлетворять всем уравнениям системы (1). Достаточно, следовательно, найти все решения системы

^а11^Х1 4“ ^а12^Х2 4“ • • • ^а1 п^Хп ~ ^1! ^а21^Х1 4" ^а22^Х2 4~ • ■ • 4" ^а2п^Хп ⁼ ^2>

^аг1^Х1 4“ ^аг2^Х2 Ь • • • 4~ ^агп^Хп ~ Ь_г-

Так как строки из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (2) линейно независимы, т. е. матрица из коэффициентов имеет ранг г, то г<яи, кроме того, хотя бы один из миноров г-го порядка этой матрицы отличен от нуля. Если г = /г, то (2) будет системой с равным числом уравнений и неизвестных и с отличным от нуля определителем, т. е. она, а потому и система (1), обладает единственным решением, а именно — вычисляемым по правилу Крамера.

П)Сть теперь г<Сп и пусть, для определенности, отличен от нуля минор г -го порядка, составленный из коэффициентов при первых г неизвестных. Перенесем в каждом из уравнений (2) в правую часть все члены с неизвестными х_{г + ъ} х_п и выберем для этих неизвестных некоторые значения с_г+1,..., с _п:Мы получим систему г уравнений

^an^xi 4" ^а\ 2^х2 4~ • • • 4- ^au^xr ⁼ b₁ — a_lt _Г+ ₁ с _Г+1... — а_1пс_п, ^а21^Х1 "4~ ^а22^Х2 4- • - • 4- ^а2г^Хг~ ^2 ^а2, г + 1^Сг + 1 • * * ^Я2п^Сш

+ ^аг 2^х2 + • • • 4- a_rrx_r = b_r — a_rt_r+1c_r+1-... — a_rnc_n

относительно г неизвестных х_г, х₂,...,х_г. К этой системе применимо правило Крамера, и поэтому она обладает единственным решением с-у, с₂,..., с_г; очевидно, что система чисел с_г, с₂,..., с_п с_г+1,..., с_п будет служить решением системы (2). Так как значения с_г+1,...,с_п для неизвестных х_{г + 1},..., х_п, называемых свободными неизвестными, мы могли выбирать произвольным образом, то этим путем будет пол учено бесконечно многоразличных решений системы (2).

С другой стороны, всякое решение системы (2) может быть получено указанным путем: если дано некоторое решение с_ъ с₂,..., с_п системы (2), то в качестве значений для свободных неизвестных берем числа с_г+1,..., с_п. Тогда числа с_х, с₂, • •., с_г будут удовлетворять системе (3) и поэтому будут составлять то единственное решение этой системы, которое вычисляется по правилу Крамера.

Все сказанное выше объединяется в виде следующего правила решения произвольной системы линейных уравнений:

Пусть дана совместная система линейных уравнений (1) и пусть матрица из коэффициентов А имеет ранг г. Выбираем в А г линейно независимых строк и оставляем в системе (1)

лишь уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие г неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных по правилу Крамера, мы получим все решения системы (1).

Дополнительно еще раз формулируем следующий полученный нами результат:

Совместная система (1) тогда и -только тогда обладает единственным решением, если ранг матрицы А равен числу неизвестных.

Примеры. 1. Решить систему

Ранг матрицы из коэффициентов равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как

5—17

2 1 1 =— 35 #0.

10 —3 0

Отсюда следует, что система несовместна.

1. Решить систему

Раиг матрицы из коэффициентов равен двум, т. е. равен числу неизвестных; ранг расширенной матрицы также равен двум. Таким образом, система совместна и обладает единственным решением. Левые части первых двух уравнений линейно независимы; решая систему этих двух уравнений, мы получим для неизвестных значения

Система совместная, так как ранг расширенной матрицы, как и ранг матрицы из коэффициентов, равен двум. Левые части первого и третьего уравнений линейно независимы, так как коэффициенты при неизвестных х_г

*1—17.

Легко видеть, что это решение удовлетворяет и третьему уравнению. 3. Решить систему

и x_s составляют отличный от нуля минор второго порядка. Решаем систему из этих двух уравнений, причем неизвестные x₃,x_it х_ъ считаем свободными, переносим в правые части уравнений и предполагаем, что им уже приданы некоторые числовые значения. Мы получим, применяя правило Крамера:

5,1 3 ^Х 1 ^ 4 "Ь 4 ^хз ^ ^xi ^хь >

¹, ⁷, ⁷ ^х2 = — *⁸ ^~7 *⁴'

Эти равенства определяют общее решение заданной системы: давая в них свободным неизвестным произвольные числовые значения, мы получим все решения нашей системы. Так, решениями нашей системы будут, например,

векторы (2, 5, 3, G, 0), (3, 5, 2, 1, —2), ^0, —, —1, 1, и т. д. С другой

стороны, подставляя выражения для х₁ и х_% из общего решения в любое из уравнений системы, например во второе, ранее исключенное из рассмотрения, мы получим тождество.

11 Решить систему

4*i+ х₃ —2*₃+ *₄ = 3, х₁—2х₃— «3 + 2*4= 2,

2*! +5jc₂ — *₄ = —1,

+ 3#2 *3 3*4 ^==а 1.

Хотя число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен нулю и поэтому правило Крамера неприменимо. Ранг матрицы из коэффициентов равеи трем—в правом верхнем углу этой матрицы располо-. жен отличный от нуля минор третьего порядка. Ранг расширенной матрицы также равен трем, т. е. система совместна. Рассматривая лишь первые три уравнения и считая неизвестное *_х свободным, мы получим общее решение в виде

12 8,9

*2— g" g^- ^Х1' ^Х3— —+ ^Х1> #4 — 0-

12 Пусть дана система, состоящая из п +1 уравнений относительно п неизвестных. Расширенная матрица А этой системы будет квадратной порядка п+1. Если наша система совместна, то, по теореме Кронекера—Капелли, определитель матрицы А должен быть равный нулю.

Так, пусть дан? система

*i—8*2=» 3,

2*1+ *2“ 1,

4*!+ 7 *₂ = —4.

Определитель из коэффициентов и свободных членов этих уравнений отличен от нуля!

2. —8 3

3. 1 1 4 7—4

поэтому система несовместна.

Обратное утверждение не будет, вообще говоря, справедливым! из равенства нулю определителя матрицы А не следует совпадение рангов матриц А и А.

^; —77,

§ 12. Системы линейных однородных уравнений

Применим результаты предшествующего параграфа к случаю системы линейных однородных уравнений:

^й11*1 ~Ь «12*2 «1л* л “

«21*1 + «22*2 +•••+ 0_2пХ_п = О,

«$ 1*1 + «, 2*2 +... + «*„*„ ⁼ 0.

Из теоремы Кронекера—Капелли вытекает, что эта система всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно — система'(1) заведомо обладает нулевым решением (0, 0,

Пусть матрица А из коэффициентов системы (1) имеет ранг г. Если г = п, то нулевое petumue бужет единственным решением системы (\)\приг<.п система обладает также решениями, отличными от нулевого, и для разыскания всех этих решений примет няется тот же прием, как выше в случае произвольной системы уравнений. В частности, система п линейных однородных уравнений с п неизвестными тогда и только тогда обладает решениями, отличными от нулевого, если определитель этой системы равен нулю¹). В самом деле, равенство нулю этого определителя равносильно утверждению, что ранг матрицы А меньше п. С другой стороны, если в системе однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система непременно обладает решениями, отличными от нулевого, так как ранг в этом случае не может быть равным числу неизвестных; этот результат уже был получен в § 1 из других соображений.

Рассмотрим, в частности, случай системы, состоящей из п — 1 однородных уравнений относительно п неизвестных, причем предположим, что левые части этих уравнений между собой линейно независимы. Пусть

/«11 «12 * * *«1л Д t=[ «^S1 «^2а •••«2 п

\«Л^1, 1 «И —1,9 «Л-1,!>

13 матрица из коэффициентов этой системы; через М{ обозначим минор (п — 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из матрицы А ее

г-го столбца, /=1,2 п. Тогда одним из решений нашей системы

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.053 сек.)

Главная | О проекте | Полезные cсылки | Контакты | Случайная страница