Определение задачи Коши

Теорема Коши о существовании частного решения.

Пусть дано y’=f(x,y), y(x0)=y0. Если функция f(x,y) и её частная производная df/dy непрерывны в открытой области содержащей точку P0(x0, y0), то в достаточно малом промежутке [x0-h; x0+h] это уравнение имеет единственное решение y=y(x), удовлетворяющее заданному начальному условию. Чтобы отыскать частное решение по начальному условию нужно в общее решение подставить начальное условие и найти значение С.

1. Определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y. y’=f(x)*g(y)

1. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида где a (x) и f (x) − непрерывные функции x, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

1. Определение уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли записывается в виде

где a(x) и b(x) − непрерывные функции.
Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки

1. Определение уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

1. Определение дифференциального уравнения n -го порядка.

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид где коэффициенты a ₁(x), a ₂(x),..., a_n (x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [ a, b ].

1. Определение решения дифференциального уравнения n -го порядка.

Решением ДУ называется функция, которая при подстановке её вместе с производными в данном уравнении превращает его в тождество. Общее решение будет зависеть от произвольных постоянных, причём их количество будет ровно порядку уравнения.

1. Определение задачи Коши для дифференциального уравнения n -го порядка.

Задача нахождения частного решения по заданному начальному условию называется задачей Коши.

Теорема Коши: пусть дано ДУ n-го порядка и система начальных условий. Если функция f(x,y,y’…y^(n-1)) непрерывна в окрестности точки x0 и имеет непрерывные частные производные по переменным у, y',… y^(n-1), то существует и при том единственное решение уравнения определённое и непрерывное в некотором промежутке, содержащий x0 и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.

1. Определение общего решения дифференциального уравнения n -го порядка.

Общее решение ДУ называется решение, содержащее произвольные постоянные, которые можно подобрать таким образом, чтобы они удовлетворяли любой системе начальных условий.

1. Определение частного решения дифференциального уравнения n -го порядка.

Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, которое получается из общего решения этого уравнения при конкретных значениях параметров С.

1. Определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

ЛОДУ имеет вид где p, q − постоянные коэффициенты.

1. Определение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

ЛНДУ имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными).

1. Определение линейной зависимости функций.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b], если существуют постоянные α₁, α₂,..., α _n, не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) +... + α _n y _n (x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

1. Определение линейной независимости функций.

В противном случае функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) называются линейно независимыми.

1. Определение определителя Вронского.

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций , дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз — функция на , задаваемая определителем следующей матрицы:

1. Теорема об определителе Вронского для линейно зависимых функций.

Система функций линейно зависима, когда вронскиан этой системы равен 0.

1. Теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ-2п.

Если система функций линейно независима и удовлетворяет некоторому ЛОДУ n-го порядка, то вронскиан такой системы не обращается в ноль в такой точке.

1. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2п.

Если функция y1, y2, …, yn образовывает фундамент системы решений ЛОДУ, то их линейная комбинация является общим решением этого уравнения.

Y=C1y1+C2y2+…+Cnyn – общее решение ЛОДУ n-го порядка

1. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ-2п.

Данные уравнения имеют вид где a ₁, a ₂,..., a_n − действительные или комплексные числа, а правая часть f (x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [ a, b ]. Неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

Общее решение представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения этого уравнения.

1. Определение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ-2п-пк).

ЛОДУ имеет вид где p, q − постоянные коэффициенты.

1. Определение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ-2п-пк).

ЛНДУ имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными).

1. Определение характеристического уравнения для ЛОДУ-2п-пк.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

1. Теорема о виде решений уравнения ЛОДУ-2п-пк.

Вопрос 31.

1. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2п-пк.

1. Теорема о наложении решений ЛНДУ-2п-пк.

Общим решением является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е.

Поиск по сайту: