АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. I.5.4. Решение задачи линейного программирования
  4. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  5. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  6. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  7. II этап: Решение задачи на ЭВМ средствами пакета Excel
  8. II. Решение логических задач табличным способом
  9. II.1.3. Решение транспортной задачи в QSB
  10. III. Разрешение споров в международных организациях.
  11. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  12. IV. Воскрешение мертвых

 

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

 

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

 

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

 

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Разрешая данное уравнение относительно производной

устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных , т.е. уравнение является однородным.

Введем вспомогательную функцию u.

.

После подстановки в исходное уравнение, оно преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные и, интегрируя, получим

 

Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим

 

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Устанавливаем, что уравнение является однородным.

 

Введем вспомогательную функцию u.

.

После подстановки в исходное уравнение, оно преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными

Умножая обе его части на разделим переменные и интегрируем

 

Потенцируя и исключая вспомогательную функцию ,

окончательно получим общий интеграл

 

Пример 4. Решить уравнение.

Решение. Выяснив, что уравнение однородное

и, полагая

Получим уравнение

 

Разделяя переменные и интегрируя, получим

 

или

Возвращаясь к переменной у, находим общий интеграл

Подставив заданные начальные значения переменных у = 1 при х = -1, находим что С = -1.

 

Следовательно, искомый частный интеграл уравнения будет

 

 

Пример 5. Решить уравнение.

Решение. Разделив обе части на dx приведём его к виду

 


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)