Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.

Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

. (1.1)

Если уравнение (1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

y' (x) = f (x, y (x)). (1.2)

Решением уравнения (1.2) является дифференцируемая функция y (x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Производную y' (x) в каждой точке (x, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.

k = tg = f (x, y).

Уравнение (1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y () = , (1.3)

где – начальное значение аргумента x, а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.2) и начальному условию (1.3).

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется решение этого уравнения, которое:

1) зависит от произвольной постоянной с;

2) для всякого начального условия (1.3) можно найти такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять данному начальному условию.

Решение называется частным решением уравнения (1.2), соответствующим начальным условиям (1.3).

Поиск по сайту: