Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска

1. Задаем начальные приближения .

2. Находим значение целевой функции и антиградиента в точке .

3. Делам пробные шаги и находим .

4. Определяем оптимальную длину шага

5. Определяем новые приближения оптимизируемых параметров .

6. Проверяем выполнение критерия оптимальности .

Вторая итерация выполняется аналогично. Далее проверяем критерий окончания расчетов: При выполнении условия расчеты заканчиваются, при невыполнении продолжаем итерации.

20.1 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

В градиентных методах движение всегда осуществляется в направлении наи­большего убывания целевой функции . Вектор градиента определяется через производные функции F(x) по всем независимым переменным .

Таким образом, чтобы воспользоваться рекуррентным выраже­нием градиентного метода , необходимо на каждом шаге итерационного процесса вычислять значения производ­ных . Для организации скорейшего спуска необходимо определение оптимальной длины шага , которая в этом случае удовлетво­ряет условию . Это условие означает, что результирующий вектор спуска должен быть таким, чтобы новый градиент стал ортогонален предыдущему.

Достоинство этого метода состоит в том что, несмотря на сложность и большой объем вычислений на каждом шаге, он в сочетании с методом наискорейшего спуска дает очень быструю сходимость.

Метод проектирования градиента. Пусть требуется найти минимум выпуклой функции при условии, что независимые переменные удовлетворя­ют системе из P линейных ограничений в форме нера­венств, т. е.

.

В начальной точке Х°, фазовые координаты которой удовлетворяют условиям ограничений , определя­ется вектор-градиент и в направлении антиградиента производится движение за границу до­пустимой области до точки x': , где –множитель, определяющий величину шага за границу допустимой области.

20.2 Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

Полученная точка X¹ проектируется на поверхность ограничений , в результате чего определится точ­ка . Затем из точки так же как и из точки Х°, в на­правлении антиградиента совершается движение за границу допустимой области в точку .

Полученная точка X² проектируется на поверхность ограничений, в результате чего получается точка и т. д.

Если начальная точка Х° находится вне допустимой области, она вначале должна быть спроектирована на поверхность ограничений, после чего осуществляется описанная процедура движения. Это позволяет решать задачу от любого начального приближения.

21.1 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

При решении задачи оптимизации режима должны учитывать­ся уравнения связи, дающие зависимости между переменными y и x. Количество зависимых переменных M определяется числом уравнений связи, которые можно рассматривать как ограничения, выраженные в форме равенств. В качестве таких ограничений обычно принимаются УУН, записанные в форме баланса токов каждого узла, кроме балансирующего или в форме баланса мощностей каждого узла (1), где – общее число узлов в системе без балансирующего. Целевую функцию можно представить в виде , где x, y – векторы независимых и зависимых пере­менных, связь между которыми выражается системой уравнений в виде вектор – функции .

В градиентном методе необходимо определить направление мак­симального уменьшения целевой функции, не нарушая связей меж­ду переменными. Поэтому найдем связь между приращениями зави­симых и независимых переменных.

Рассмотрим точку (х°, у°) с координатами , удовлетворяющую системе равенств : (2), .

Это означает, что рассматриваются режимы энергосистемы, удовле­творяющие (1).

Разложив нелинейные уравнения в точке (х°, y°) в ряд Тейлора и ограничившись членами, содержащими производные не выше первого порядка, получим , .

С учетом (2) в матричной записи последняя система уравнений приобретает вид , откуда, переходя к бесконечно малым приращениям, получим (3).

Здесь – матрицы частных производных уравнений связи по независимым и зависимым переменным.

С учетом зависимости y(x) целевую функцию F(x,y) можно представить как F(x, y(x)). Выражение градиента приобретает вид

21.2 Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

что в матричной форме записывается двумя способами:

; (4), , – векторы - столбцы частных производных целевой функции по независимым и зависимым переменным.

Вектор производных целевой функции по независимым перемен­ным dF/dx называется приведенным градиентом. С учетом соотно­шения (3) представим (4) в виде .

Вектор dF/dx рассматривается как возможное направление и ис­пользуется в рекуррентном выражении итерационной процедуры .

Наряду с методом приведенного градиента ограничения в форме равенств учитывает также метод Лагранжа. При отыскании экстремума целевой функции с учетом ограничений в форме равенств методом Лагранжа вводится новая функция Лагранжа L, в которой все переменные рассматриваются как независимые. В данном случае нет необхо­димости вычислять матрицу частных производных [dу/dx], в чем и заключается преимущество метода по сравнению с предыдущим. Недостатком метода является увеличение размерности задачи за счет введения неопределенных множителей Лагранжа, число кото­рых равно числу уравнений связи.

22.1 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

При оптимизации режима электрической системы задается сово­купность ограничений в форме неравенств , определяющая некоторую допустимую область D. В задаче не­линейного программирования необходимо отыскивать относительный экстремум в области D, допуская, что активным может оказаться любое огра­ничение. В некоторых случаях активные ограничения могут быть выявлены в ходе итерационного процесса решения задачи оптими­зации.

Пусть . В результате шага по рекуррентному выраже­нию метода возможных направлений получается точка x^k. Если эта точка также принадлежит области D, то осуществляется переход к точке x^k+1. Если же , то необходимо найти граничную точку x^k на поверхности области D. В результате выявляется активное ог­раничение (рис. 5-8), которое можно рассматривать как равенство. Однако правомерность такого перехода должна быть обоснова­на, так как не исключаются ситуации, подобные представленной на рис. 5-8. Здесь точка . Движение по антиградиенту с оптимальной длиной шага приводит в точку . Пусть найдена граничная точка x'. Если в дальнейшем ограничение рассматривать как равенство, то будет найден экстремум на ограничивающей по­верхности в точке x". Как видим, в данном случае решение оказы­вается неправильным, так как фактически следует найти точку аб­солютного минимума .

Метод штрафных функ­ций. Для решения задачи отыскания экстремума целевой функции F (x,y) в допустимых областях D_y и D_z рассматривается новая функция , которая в отличие от F(x,у) определена в пространстве зависимых переменных при и (где рассматриваются в виде переменных, зависимых от x и у). Это свойство новой функции и достигается за счет введения штрафных функций Ш(y) и Ш(z), подчиняющихся условиям:

.

22.2 Учет ограничений в форме неравенств при решении задач опт-ии в электроэнергетике. Метод штрафных функций

Эти условия означают следующее: если взята некоторая точка х^k так, что соответствующие ей зависимые переменные y^k и z^k удо­влетворяют ограничениям и , то штраф равен нулю, в противном случае накладывается штраф в виде некоторой поло­жительной добавки к исходной функции F(x,у). Чем существен­ней отклонение от допустимой области, тем больше величина штра­фа. А так как методы возможных направлений в этом случае основываются на построении такой траектории х°, х¹,..., х^k, в кото­рой W^k<W^k-1, то при надлежащем выборе функции штрафа дви­жение всегда будет происходить в сторону допустимой области.

Штрафные функции должны удовлетворять двум условиям: 1) при их использовании не должны появляться новые локальные минимумы и абсолютный минимум функции W должен совпадать с относительным минимумом исходной целевой функции или быть достаточно близким ему; 2) функция штрафа должна возрастать при увеличении степени нарушения ограничения.

Способ задания квадратичной штрафной функции вида , где , – величины, характеризующие степень нарушения со­ответствующих ограничений. Коэффициенты штрафа и имеют смысл коэффициентов приведения штрафа к размерности целевой функции.

Выбор коэффициента штрафа существенно влияет на сходимость итерационного процесса и точность отыскания минимума целевой функции. Чем больше величина , тем круче растет функция W вне области D и тем заметнее функция W приобретает свойства «овражности». Чаще всего при овражных функциях удо­влетворительная сходимость не обеспечивается. Коэффициент штрафа влияет и на траекторию спуска.

23.1 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

Преимущество метода Ньютона заключается в том, что количество итерационных ша­гов невелико. Как и во всяком итерационном мето­де, расчет начинается с задания некоторой исходной точки , для ко­торой можно вычислить значение функции . Аппроксимируем в точке зависимость f(x) некоторой другой функцией пу­тем разложения в ряд f(x) и сохранения членов, содержащих вто­рые производные: (1).

Такая аппроксимация соответствует замене исходной функции f(x) параболой , совпадающей в точке по значениям первой и второй производных (рис. 5-10). Если обозначить через величи­ну отклонения от , то вместо (1) можно записать (2).

Найдем такое значение приращения , которое обращает в мини­мум . Для этого приравняем нулю производную от (2): , откуда . Следовательно, точку экстремума можно найти из условия .

Если в этой точке производная существенно отличается от нуля, то эту точку следует рассматривать как исходную и повто­рить вычисления. В общем виде рекуррентное выражение итера­ционного процесса можно представить как .

Таким образом, суть метода заключается в том, что исходная функция заменяется полиномом второй степени – параболой – и затем отыскивается ее минимум. В новой точке аппроксимация повторяется, отыскивает­ся ее минимум и т. д.

Аналогично функцию двух переменных F(х₁, х₂), которая ап­проксимируется разложением в ряд Тейлора, можно представить как (3).

Градиент этой новой функции в точке ее экстремума равен нулю:

23.2 Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе

(4). Решая эту систему относительно и (5), находим точку экстремума, а следовательно, и точку нового при­ближения х¹: (6).

Геом-я интерпретация рассмотренного случая представлена на рис. 5-11. Истинная зависимость F(x) заменена параболоидом , линии равного уровня которого в проекции на плоскость осей x₁ и х₂ - эллипсы. Решение системы (4) позволяет найти центр эллипсов х¹, а затем в этой точке повторить аппроксимацию и найти точку х² и т. д.

Выражения (3–6) соответствуют общему случаю ми­нимизации функции многих переменных F(x). В векторно – матричной форме эти выражения приобретают вид ;

Функция позволяет найти приближенное значение исходной функции F(x) и совпадает с ней лишь в точке разложения х°. В первом из этих выражений второй и третий члены – скалярные произведения векторов, отделенных друг от друга запятой. Через [G(x)] обозначена матрица вторых частных производных: , называемая матрицей Гессе. Эта матрица всегда симметрична. Вектор F'(x) есть вектор первых частных производных целевой функции и, следовательно, это есть градиент .

24.1 Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

В общем случае для получения решения приходится применять современные методы нелинейного программи­рования. Рассмотрим применение для этой задачи ме­тода приведенного градиента.

Любая задача нелинейного математического про­граммирования может быть записана в следующей фор­ме. Имеется функция многих переменных .

Компоненты Z являются искомыми параметрами ре­жима, a D включает известную исходную информацию о состоянии системы, тогда min F(Z, D) совпадает с min F(Z). Необходимо по Z минимизировать функцию при ограничениях .

При использовании метода приведенного градиента компоненты вектора параметров режима системы Z раз­деляются на два подмножества X и Y: Y включает неза­висимые переменные, т. е. те параметры, которые в си­стеме могут регулироваться, на которые можно воздей­ствовать, используя определенные средства управления; X включает зависимые параметры режима, т. е. те, ко­торые могут быть вычислены по параметру Y, тогда , отсюда , а ограничения принимают вид:

Связи между независимыми Y и зависимыми X пере­менными, как правило, неявные. Поэтому задача мини­мизации функции (6-G7) решается по многошаговой схеме.

Деление параметров режима Z на два подмножест­ва X и Y понижает размерность задачи и, следователь­но, облегчает вычислительный процесс. Действительно, если Z имеет n переменных, а X имеет m переменных, то обычно размерность задачи p<<n.

Рассмотрим основные положения решения задачи комплексной оптимизации методом приведенного гради­ента. ЭС состоит из i = 1, 2,..., М обобщенных и отдельных узлов и имеются толь­ко тепловые станции. Параметры режима: , – активные и реактивные мощности генераторных узлов; , – модули напряжений и фазовые углы в узлах системы. Известны активные и реактивные нагрузки в узлах, причем они не зависят от напряжений и часто­ты системы. Требуется определить оптимальное распре­деление нагрузки по условию минимума расхода услов­ного топлива системы.

24.2 Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

1. Уравнение цели .

2. Уравнения связи включают:

– эквивалентные характеристики генераторных узлов вида , где – эквивалентный расход условного топлива;

– связи между параметрами X и Y, которые имеют вид Y(Х);

3. Уравнения ограничений, которые задаются в виде не­равенств

Задаются также балансовые ограничения по актив­ным и реактивным мощностям в виде системы уравне­ний установившегося режима (рис.).

Для каждого узла небаланс по мощности равен: , где и – функция небаланса по активной и реактивной мощностям.

Когда в стационарном режиме в узлах системы име­ется баланс, то , . Если в стационар­ном режиме изменить независимые переменные , , то появится небаланс и , . Меняя , , можно получить новый допустимый стацио­нарный режим для новых значений , . Задача и бу­дет заключаться в том, чтобы найти такое решение урав­нений установившегося режима, при котором .

4. Вычисление приведенного градиента. Решение считается оптимальным, если модуль градиент - вектора функции В (Х, Y) будет меньше заданного малого значения, т. е. .

1. Понятие оптимизации. Основные задачи оптимизации в электроэнергетике. Степени свободы электроэнергетической системы

2. Применение метода множителей Лагранжа при решении задач оптимизации в ЭЭ

3. Опт-е распределение перетоков мощности в замкнутых контурах эл. сети

4. Прим-ие м-да множителей Л. для опт-ии перетоков мощности в эл. сети

5. Оптимизация распределения перетоков мощности сложной эл. сети

6. Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Относительные приросты ТЭС

7. Определение оптимального распределения нагрузки между ТЭС методом множителей Лагранжа. Структурная схема алгоритма

8. Наивыгоднейшее распределение нагрузки между ТЭС без учета потерь P. Физический смысл равенства относительных приростов

9. Определение опт. распределения нагрузки в энергосистеме с ГЭС и ТЭС методом множителей Лагранжа. Относит. приросты ТЭС и ГЭС

10. Размерность и физический смысл множителей Лагранжа в задачах оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме

11. Оптимальное распределение нагрузки при постоянном напоре ГЭС и структурная схема алгоритма поиска данного распределения

12. Оптимальное распределение нагрузки при переменном напоре ГЭС

13. Оптимальное распределение нагрузки между агрегатами электростанций. Оптимальная последовательность включения агрегатов электростанций

14. Формулировка задачи оптимизации режима энергосистемы с позиций нелинейного программирования. Основные определения

15. Применение методов возможных направлений для поиска экстремума целевой функции при решении задач оптимизации в электроэнергетике

16. Применение метода наискорейшего спуска при решении задач опт-ии в ЭЭ

17. Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике

18. Применение метода покоординатной оптимизации в электроэнергетике. Внешний и внутренний циклы метода

19. Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод + метод наискорейшего спуска

20. Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Метод проектирования градиента

21. Учет ограничений в форме равенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Приведенный градиент

22. Учет ограничений в форме неравенств при решении задач оптимизации в электроэнергетике. Метод штрафных функций

23. Оптимизация режима электроэнергетической системы методом Ньютона. Матрица Гессе. Геометрическая интерпретация аппроксимации ЦФ

24. Комплексная оптимизация режимов энергосистемы

Поиск по сайту: