 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Поле экстремалей. Достаточные условия сильного экстремума
Изучим полученные в теореме 6.6.4 условия для нахождения геодезического наклона при помощи понятия "поле экстремалей".
Определение. Функцию X(t,u): Ω → Rn назовем полем экстремалей в области W, если:
1) для каждого (t,u)∈Ω выполняется включение (t, X(t,u))∈W;
2) для каждого фиксированного (t*,u)∈Ω функция xu(t) = X(t,u), определенная в окрестности точки t* удовлетворяет уравнению Эйлера для задачи (6.1.1);
3) существует (t*,u*)∈Ω, для которого функция xu*(t) удовлетворяет граничным условиям задачи (6.6.1).
4) для каждого (t,u)∈Ω матрица Xu(t,u)) обратима.
Если u=u(t) - кривая, график которой лежит в Ω, то x=x(t) = X(t, u(t)) - кривая с графиком, лежащим в области W. Обратно, если x(t) - кривая с графиком, лежащим в области W, то уравнение x(t) = X(t, u) неявным образом задает кривую u(t), график которой лежит в Ω.
Таким образом, мы собираемся сделать замену переменных x на переменные u.
f(x)= ∫[a; b] L(t, x(t),x'(t))dt = ∫[a; b] L(t, X(t,u(t)), Xt(t,u(t))+Xu(t,u(t))u'(t))dt =∫[a; b] F(t, u(t),u'(t))dt = g(u),
где F(t, u, u') = L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u').
Пусть X(a, u1)=x1, X(b, u 2)=x2. Тогда задача (6.1.1) будет эквивалентна задаче
g(u) = ∫[a; b] F(t, u(t),u'(t))dt → extr, u(a)=u1, u(b)=u2, u ∈C1[a, b], u(t)∈Ω. (6.7.1)
Изучим вопрос о том, когда функция q=0 будет геодезическим наклоном для задачи (6.7.1).
Рассмотрим уравнение u'=q=0. Его решения u=const соответствуют кривым x(t) = X(t,u), для которых выполняется равенство x'(t) = Xt(t,u).
Проверим выполнение условий теоремы 6.6.4. Для этого прежде всего нужно убедиться, что уравнение u'=q=0 является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.7.1).
По определению поля экстремалей функции X(t,u) (при u=const) удовлетворяют уравнению Эйлера для задачи (6.1.1.), т.е. d/dt Lx'(t,X(t,u), Xt(t,u)) = Lx(t,X(t,u), Xt(t,u)).
Fu(t,u,u') = ∂/∂u L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') = Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') Xu(t,u)+
+Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') (Xtu(t,u)+Xuu(t,u) u');
Fu'(t,u,u') = ∂/∂u' L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') = Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') Xu(t,u).
d/dt {Fu'(t,u,q)} - Fu (t,u,q) = d/dt {Fu'(t,u,0)} - Fu (t,u,0) =
= d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u)} - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xtu(t,u) =
= d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u))} Xu(t,u) - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) =
=[ d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u))} - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) ] Xu(t,u) = 0.
1) решения уравнения u' = q ≡ 0 имеют вид u=const и покрывают область Ω.
2) условие Вейерштрасса: E(t, u, u', q) = F(t, u, u') - F(t, u, q) - Fu'(t, u, q)(u' - q) ≥ 0, или
E(t, u, u', q) = F(t, u, u') - F(t, u, 0) - Fu'(t, u, 0) u' =
= L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') - L(t, X(t,u), Xt(t,u)) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) u' ≥ 0.
Так как матрица Xuневырождена, DX=Xu(t,u) u' пробегает все значения из Rn. Условие
L(t, X(t,u), Xt(t,u)+DX) - L(t, X(t,u), Xt(t,u)) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) DX ≥ 0
равносильно выпуклости функции L по переменной x' в точке (t, X(t,u), Xt(t,u)).
3) скобки Пуассона: для каждого u∈Ω найдется t0∈[a, b], для которого
[ui,uk](t0,u) = ∂/∂uk{Fu '(i)(t0, u, q)} - ∂/∂ui {F u '(k)(t0, u, q)} =0,
или ∂/∂uk{ Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u)) Xu(i)(t0,u)} - ∂/∂ui { Lx '(t0, X(t0,u), Xt(t0,u)) Xu(k)(t0,u)} =0. (6.7.1)
Для выполнения условия (6.7.1) имеется ряд достаточных условий.
А) Центральное поле экстремалей: существует t0∈[a, b], для которого X(t0,u)≡C.
Б) существует t0∈[a, b], для которого Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u))≡C..
Доказательство. А) Если X(t0,u)≡C, то Xu(k)(t0,u)≡0, поэтому [ui,uk](t0,u) = 0.
Б) Если Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u))≡C, то [ui,uk](t0,u) = ∂/∂uk{ С Xu(i)(t0,u)} - ∂/∂ui { С Xu(k)(t0,u)} =
= С ∂/∂uk ∂/∂ui X(t0,u) - ∂/∂ui∂/∂uk X(t0,u) = 0.
Таким образом, если в задаче (6.1.1) лагранжиан L является выпуклой по переменной x' функцией, в области W существует поле экстремалей, включающее допустимую экстремаль x* и удовлетворяющее условию А или Б, то x* является решением задачи (6.1.1) в области W.
Поиск по сайту: