Вариационная задача с кусочно-гладкими кривыми

По аналогии с задачей (6.1.1) можно рассмотреть тот же функционал не на множестве непрерывно дифференцируемых функций, а на множестве ACR[a, b] абсолютно непрерывных функций, чья производная интегрируема по Риману.

Заметим, что если в условиях леммы Дюбуа-Реймона функции c(t) и d(t) интегрируемы по Риману, а условие (6.1.4) справедливо для всех функций h∈ACR[a, b], то доказательство леммы почти дословно можно повторить.

Доказательство модификации леммы Эйлера. Обозначим C(t) = ∫_{[a; t]} c(s) ds (∈ACR[a, b]). Тогда C(t)h(t)∈ACR[a, b] и справедлива формула Ньютона-Лейбница, поэтому

∫_{[a; b]} c(t)h(t)dt = ∫_{[a; b]} (C(t))'h(t)dt = C(t)h(t) |_a^b - ∫_{[a; b]} C(t)h'(t)dt = - ∫_{[a; b]} C(t)h'(t)dt,

т.е. из (6.1.4) получаем, что ∫_{[a; b]} {d(t) - C(t)}h'(t)dt = 0 для всех h∈M₀={h∈ACR[a, b] | h(a)=h(b)=0}.

Обозначим f(t) = d(t) – C(t) ≡ d(t) - ∫_{[a; t]} c(s) ds ∈R[a, b], f = ¹/_(b-a) ∫_{[a; b]} f(t)dt, тогда ∫_{[a; b]} {f(t) -f}dt = 0.

Пусть h₀(t) = ∫_{[a; t]} {f(s) - f}ds, тогда выполняется условие h₀∈M₀, следовательно,

∫_{[a; b]} f(t)h₀'(t)dt = ∫_{[a; b]} f(t){f(t) - f}dt = 0. Используем равенство ∫_{[a; b]}{f(t) - f}dt = 0. Вычитая из первого второе, получаем: ∫_{[a; b]}{f(t) - f}²dt = 0. Поскольку f(t) – f ∈R[a,b], получаем f(t) – f ≡ 0 во всех точках непрерывности функции f(t) (или, что то же, функции d(t)).

Таким образом, во всех точках непрерывности функции d(t) выполняется равенство

d(t) = ∫_{[a; t]} c(s) ds + const.

В качестве следствия получаем:

Теорема 6.3.1 (уравнение Эйлера для ПВЗ с кусочно-гладкими функциями). Если L, L_x и L_x' – непрерывные функции, x*(t)∈ACR[a, b] – точка экстремума в ПВЗ, то x* удовлетворяет уравнению Эйлера в интегральной форме, т.е.

L_{x '} (t, x*(t),x*'(t)) = ∫_{[a; t]} L_x (s, x*(s),x* '(s)) ds + const
во всех точках непрерывности функции x* '. (6.3.1)

Функцию x* ' можно переопределить в ее точках разрыва таким образом, что

р(t) ≡ L_{x '} (t, x*(t),x*'(t)) ∈ ACR[a, b] (первое условие Вейерштрасса-Эрдмана),

при этом во всех точках непрерывности функции x* ' выполняется уравнение Эйлера в дифференциальной форме: ^d/_dt р(t) = ^d/_dt L_{x '} (t, x*(t),x*'(t)) = L_x (t, x*(t),x* '(t)).

Замечание. Если не требовать абсолютной непрерывности функций x и y, то можно столкнуться с функцией типа лестницы Кантора, которая отлична от константы, непрерывна и имеет за исключением множества меры ноль производную, равную нулю. Допуская возможность использования таких функций в качестве параметризации кривых, получим, что длина каждого отрезка равна нулю.

Тот факт, что экстремум в задаче о кратчайшем расстоянии оказался равным на множествах C¹[a, b] и ACR[a, b], является типичным явлением.

Лемма (о скруглении углов). Пусть функция L=L(t, x, x') непрерывна по совокупности всех своих переменных. Если функция x* является решением задачи (6.1.1) на множестве функций из C¹[a, b], то эта же функция будет решением задачи (6.1.1) на множестве ACR[a, b].

Доказательство. Схема рассуждений может быть такой. Предположим, что найдется функция y*∈ACR[a, b], которая дает меньшее значение функционалу f, чем x*. Воспользуемся тем, что множество точек разрыва у функции y* имеет меру ноль, значит его можно поместить в объединение интервалов малой суммарной длины. На оставшейся части отрезка [a, b] эту функцию можно равномерно приблизить функциями из x_n∈C¹[a, b]. В итоге разность между f(y*) и f(x_n) можно сделать как угодно малой, что противоречит предположению о том, что f(y*) строго меньше, чем экстремум f на множестве C¹[a, b].

Поиск по сайту: