Алгоритм Гюйгенса исследования ПВЗ

Определение. Функцию Ф(t, x, x') (t∈[a, b], x,x'∈Rⁿ) будем называть точной производной в области W⊆[a, b]×Rⁿ, если найдется гладкая функция S(t,x), такая что для всех (t,x)∈W, x' ∈Rⁿвыполняется равенство Ф(t, x, x') = S_t(t,x) + S_x(t,x) x'.

Заметим, что для всех функций х∈C¹[a, b] выполняется тождество

Ф(t, x(t), x'(t)) = ^d/_dt [S(t, x(t))] = S_t(t,x(t)) + S_x(t,x(t)) x'(t).

Лемма. Если в простейшей вариационной задаче

g(x)= ∫_{[a; b]} Ф(t, x(t),x'(t))dt → extr, x(a)=x₁, x(b)=x₂, x∈C¹[a, b] (6.6.1)

функция Ф является точной производной, то на множестве допустимых функций функционал g принимает постоянное значение.

Множество W, которое фигурирует в определении точной производной, играет следующую роль. Уравнение Эйлера позволяет найти подозрительную на экстремум функцию x₀(t). Затем, если мы хотим проверить эту функцию на сильный локальный экстремум, то требуется сравнить значения f в точке x₀ и точках x, график которых лежит в окрестности графика x₀, т.е. в множестве

W = G(x₀, ε) = {(t, x) | t∈[a, b], |x₀(t)–x|<ε}.

Если же требуется проверка на глобальный экстремум, можно считать, что W = [a, b] × Rⁿ.

Таким образом, множество W задает ограничение на допустимые функции, график которых должен находиться в этом множестве.

Теорема 6.6.1 (Алгоритм Гюйгенса). Предположим, что в области W существует точная производная Ф, такая, что:

1) ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rⁿ L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); (6.6.2)

2) для некоторой допустимой функции x₀(t) ∀ t∈[a, b] выполняется тождество

L(t, x₀(t), x'₀(t)) = Ф(t, x₀(t), x'₀(t)). (6.6.3)

Тогда х₀ – точка минимума для задачи (6.1.1) в области W.

Доказательство. Зададим функционал g по формуле (6.6.1). Тогда для любой допустимой функции x, чей график лежит в области W с учетом доказанной леммы и условий теоремы получаем:

f(x) ≥ g(x) = g(х₀) = f(х₀).

Теорема доказана.

Эффективность алгоритма Гюйгенса существенно зависит от того, научимся ли мы находить требуемую для его работы точную производную. Для решения этой проблемы удобно использовать следующее понятие.

Определение. Функцию p:W → Rⁿ назовем геодезическим наклоном в задаче (6.1.1) для области W, если:

1.задача Коши x'=p(t,x), x(t₀)=x₀ разрешима для любого (t₀, x₀)∈W (или говорят, что решения уравнения x'=p(t,x) покрывают множество W);

2.существует точная производная Ф, такая, что ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rⁿ:
а) L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); б) L(t, x, p(t, x)) = Ф(t, x, p(t, x)).

Решения уравнения x'=p(t,x) называются геодезическими кривыми.

Теорема 6.6.2. Любая допустимая геодезическая кривая является точкой минимума для задачи (6.1.1) в области W.

Доказательство. Если x₀ - допустимая геодезическая кривая, то x₀'(t) = p(t, x₀(t)), при этом выполняются все условия теоремы 6.6.1.

Покажем, что на самом деле точная производная, упоминаемая в определении геодезического наклона, вычисляется однозначно.

Лемма. Если р – геодезический наклон для области W, то ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rⁿ

Ф(t, x, x') = L(t, x, p(t, x)) + L_{x '}(t, x, p(t, x)) (x' - p(t,x)). (6.6.4)

Заметим, что для функции Ф(t, x, x') условие Ф(t, x, p(t, x)) = L(t, x, p(t, x)) теперь выполняется автоматически.

Определение. Функция E: W×Rⁿ×Rⁿ→ R: E(t, x, x', p) = L(t, x, x') - L(t, x, p) - L_{x '}(t, x, p) (x' - p) называется функцией Вейерштрасса для задачи (6.1.1).

Пусть p=p(t,x) – геодезический наклон, тогда условие а) в определении может быть записано так:

E(t, x, x', p(t,x)) = L(t, x, x') - L(t, x, p(t, x)) - L_{x '}(t, x, p(t,x)) (x' - p(t,x))≥ 0 (условие Вейерштрасса).

Утверждение. Пусть W - односвязная область, функции p, L, L_{x '} непрерывны. Интеграл Гильберта-Картана не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда для всех (t,x)∈W выполняются следующие условия:

1.∀ k=1,...,n ^∂/_∂t y_k(t,x,p(t,x)) = ^∂/∂x_k H(t,x,p(t,x));

2.∀ i=1,...,n; k=1,...,n ^∂/∂x_k y_i(t,x,p(t,x)) = ^∂/∂x_i y_k(t,x,p(t,x)).

Определение. Функции [t, x_k] (t,x) ≡ ^∂/_∂t y_k(t,x,p(t,x)) - ^∂/∂x_k H(t,x,p(t,x));

[x_i, x_k] (t,x) ≡ ^∂/∂x_k y_i(t,x,p(t,x)) - ^∂/∂x_i y_k(t,x,p(t,x)) называются скобками Пауссона для геодезического наклона p.

Все вышесказанное доказывает следующую теорему.

Теорема 6.6.3. Пусть функции p, L, L_{x '} непрерывны, W - односвязная область. Функция р:W→Rⁿ – геодезический наклон в области W тогда и только тогда, когда:

1⁰. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;

2⁰. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0

3⁰.∀ i=1,...,n; k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [t, x_k] (t,x) =0 и [x_i, x_k] (t,x)=0.

Лемма. Пусть x - геодезическая кривая. Тогда

^d/_dt L_{x '(i)} (t, x(t),x'(t)) - L_x(i) (t, x(t),x '(t)) ≡ ∑_1≤k≤nx_k'(t)[x_k, x_i] (t,x(t)) +[t, x_i] (t,x(t)).

Доказательство леммы проводится непосредственным вычислением с использованием определения скобок Пуассона.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон. Тогда уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1):

^d/_dt L_{x '} (t, x(t),x'(t)) = L_x (t, x(t),x '(t)).

Данное утверждение сильно сужает круг для поиска функций геодезического наклона.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Тогда из условия

∀ k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [x_i, x_k] (t,x)=0 следует выполнение условия ∀(t, x) ∈W [t, x_i] (t,x) =0.

Средствами теории дифференциальных уравнений, можно доказать следующий результат.

Утверждение. Пусть функции p, L и L_{x '} непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Если для каждого решения x₀ уравнения x'=p(t, x) найдется точка t₀∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [x_i, x_k] (t₀,x₀(t₀))=0, то [x_i, x_k]≡0 на W.

Итог всех рассуждений запишем в виде теоремы.

Теорема 6.6.4. Пусть функции p, L и L_{x '} непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера.

Функция p является геодезическим наклоном тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1⁰. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;

2⁰. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0

3⁰. Для каждого решения x₀ уравнения x'=p(t, x) найдется точка t₀∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [x_i, x_k] (t₀,x₀(t₀))=0.

Поиск по сайту: