Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Дифракционной решеткой называется система, состоящая из параллельных друг другу щелей одинаковой ширины a, расположенных на одинаковом расстоянии b друг от друга.

Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом (постоянной) дифракционной решетки и обозначается d.

Если ширина прозрачной щели – , а ширина непрозрачного промежутка – , то .

Хорошая дифракционная решетка представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которую алмазным резцом (при помощи специальной делительной машины) нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) параллельных штрихов, расположенных на строго одинаковых расстояниях друг от друга.

Рассмотрим падение плоской монохроматической световой волны с длиной волны на дифракционную решетку (рис. 1). Пусть для определенности волна падает нормально.

Рис.1

В каждой точке B на экране (в фокальной плоскости линзы) соберутся те лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определённым углом φ к направлению падающей волны. Поэтому освещенность в точке B является результатом интерференции вторичных волн, распространяющихся как от разных участков одной щели, так и от разных щелей.

Условие дифракционного минимума для одной щели определяет те направления, в которых амплитуда результирующих колебаний (интенсивность), создаваемых каждой из щелей в отдельности, равна нулю (ни одна из щелей не направляет света). Следовательно, условие дифракционного минимума для одной щели будет также условием минимума для дифракционной решетки:

, ,

В тех направлениях, в которых щели направляют свет, могут наблюдаться как максимумы, если волны, приходящие от разных щелей усиливают друг друга (в фазе), так и минимумы, если они ослабляют друг друга (в противофазе).

В тех направлениях, для которых разность хода волн, приходящих от эквивалентных точек соседних щелей, равна целому числу длин волн (чётному числу полуволн)

,

действия всех щелей взаимно усиливают друг друга. Этим направлениям соответствуют главные максимумы.

Главный максимум определенного порядка пропадает, если его положение совпадает с каким-нибудь минимумом дифракционной картины от одной щели.

А какой вид имеет дифракционная картина между главными максимумами? Рассмотрим, как будет меняться освещенность на экране при постепенном переходе от главного максимума нулевого порядка (m=0) к главному максимуму первого порядка (m=1). Для нахождения амплитуды результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм. Векторы, изображающие колебания от разных щелей , имеют одинаковый модуль. Обозначим его a. Амплитуда результирующего колебания в любой точке экрана будет результатом сложения векторов, изображающих колебания от разных щелей.

Сначала определим амплитуду результирующего колебания при φ=0. В этом случае, векторы, изображающие колебания от разных щелей, параллельны друг другу и при сложении дадут вектор , модуль которого в N раз больше модуля вектора изображающего колебание от одной щели (рис.2). Это означает, что амплитуда колебаний в главном максимуме A₀ в N раз больше амплитуды колебаний, создаваемых в этой точке вторичной волной от одной щели a.

A₀ = N^.a.

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды результирующего колебания. Следовательно, интенсивность нулевого максимума в N² раз больше интенсивности, создаваемой в этом направлении одной щелью.

По мере увеличения угла φ между колебаниями от соседних щелей появляется одинаковый сдвиг по фазе . Поэтому одинаковые по модулю векторы , изображающие колебания от соседних щелей, будут повёрнуты относительно друг друга на угол . В результате при их сложении получится ломаная линия, вписанная в окружность (рис.3). Если эта ломаная линия окажется замкнутой, то амплитуда результирующего колебания обратиться в нуль, что приводит к полной темноте в соответствующих точках экрана. Замыкание ломаной линии из векторов происходит при выполнении условия

.

В каких направлениях будут наблюдаться дополнительные минимумы?

, ,

.

Какие значения может принимать ? Значение соответствует разности хода между пучками от первой до последней (N-й) щели, равной одной длине волны λ. Значение соответствует разности хода, равной 2λ, и т.д. Значение соответствовало бы разности хода между пучками от первой до последней (N-й) щели, равной Nλ, т.е. разности хода между двумя пучками соседних щелей, равной длине волны λ. А это условие – условие главного максимума первого порядка.

Между любыми двумя главными максимумами располагается дополнительных минимумов, определяемых условием

,

где т.е. – любое целое число, не кратное числу щелей решетки.

Очевидно, что между минимумами располагаются побочных максимума. Эти максимумы возникают тогда, когда ломаная линия на векторной диаграмме, образованная N векторами , частично налагаясь сама на себя, оканчивается в верхней точке окружности, так что замыкающий её вектор результирующего колебания проходит по диаметру окружности. Векторная диаграмма, соответствующая направлению на первый побочный максимум, расположенный рядом с главным представлена на рисунке.

Амплитуда колебаний в этом побочном максимуме B₁ связана с амплитудой колебаний в главном максимуме A₀ следующим соотношением:

Пропорциональная квадрату амплитуды освещенность в центре этого побочного максимума будет в 25 раз меньше, чем в центре главного. Остальные побочные максимумы будут ещё слабее, т.к. , и т.д.

На рисунке показано распределение интенсивности на экране при дифракции на решетке для случая N=4 и d=3a.

Как видно из рисунка, интерференция многих пучков (от разных щелей) привела к значительному перераспределению интенсивности света по сравнению с распределением интенсивности света от одной щели (пунктир на рис. 5). Поскольку для одной щели центральный максимум гораздо интенсивней остальных, то при дифракции на решетке почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума, обусловленного одной щелью, то есть в пределах .

При увеличении полного числа штрихов (щелей) главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся всё резче и резче.

Поиск по сайту: