Лабораторное занятие

Применение MS Excel при решении задач оптимизации (поиск решения)

1. Составление плана выгодного производства

Постановка задачи

Предприятие производит 3 вида продукции А, В и С. Для их изготовления используются три вида ресурсов Р1, Р2, Р3, объемы которых ограничены. Известны потребности в ресурсах для выпуска единицы каждого j -го вида продукции («ресурсные коэффициенты» или «нормы расхода сырья на производство единицы продукции» r_ij). Ресурсные коэффициенты для каждого вида продукции приведены в табл.1.

Известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого j -го вида продукции (единичная прибыль c_j). Реализация единицы продукции А дает прибыль c₁ =60 $, продукции В — c₂ =70 $ и продукции С — c₃ =120 $. Заданы также граничные значения объемов выпуска каждого вида продукции (верхняя и нижняя границы). Виды продукции В и С можно производить неограниченно в любом количестве (верхние границы их объемов равны плюс бесконечности).

Необходимо определить оптимальное количество выпуска каждого вида продукции x_j, при котором будет получена максимальная общая прибыль.

Таблица 1

Математическую модель задачи представим в виде набора уравнений:

Уравнение для целевой функции: F = Σ c_j x_j → max;

где: c_j - единичная прибыль, целевые коэффициенты; x_j – объемы производства, независимые переменные.

Для рассматриваемой задачи уравнение будет иметь вид:

(Итоговая общая прибыль)=(Общая прибыль по А)+(Общая прибыль по В)+(Общая прибыль по С) → max

Здесь: (Общая прибыль по А) = (единичная прибыль от А) * (объем производства А)

(Общая прибыль по В) = (единичная прибыль от В) * (объем производства В)

(Общая прибыль по С) = (единичная прибыль от С) * (объем производства С)

или, используя данные из таблицы 1, запишем это уравнение в виде:

F = 60· x₁ + 70· x₂ + 120· x₃ → max

Здесь: x₁, x₂, x₃ – объемы производства продукции А, В и С, соответственно.

Целевыми коэффициентами c_j в данном уравнении являются значения единичной прибыли (60, 70, 120).

Ограничения на ресурсы:

(Расход ресурса 1) = (объем производства А) * (норма расхода ресурса 1 на А) + (объем производства В) * (норма расхода ресурса 1 на В) + (объем производства С) * (норма расхода ресурса 1 на С)

или для каждого вида ресурса Р _i:

Р1 = 1 · x₁ + 1 · x₂ + 1 · x₃ ≤ 16

Р2 = 4 · x₁ + 6 · x₂ + 10 · x₃ ≤ 100

Р3 = 6 · x₁ + 5 · x₂ + 4 · x₃ ≤ 110

Ограничения на объемы производства по видам продукции:

1 ≤ x₁ ≤ 4

x₂ ≥ 2

x₃ ≥ 2

Две последние записи означают, что для видов продукции В и С верхней границы нет, их можно производить в любых количествах, поскольку известно, что их сбыт всегда обеспечен.

Порядок решения

1. Создайте электронную расчетную таблицу как на рис.1. Введите в нее исходные данные и формулы в соответствии с условиями задачи.

Расчетные формулы имеют вид:

для ячейки F5: =В5*$В$10+С5*$С$10+D5*$D$10. Скопируйте формулу в ячейки F6, F7.

Для независимых переменных x₁, x₂, x₃ (объемов производства каждого вида продукции) зарезервированы ячейки В10:D10. Решение должно определить оптимальные значения x₁*, x₂*, x₃*, которые будут содержаться в этих ячейках. Так как значения этих переменных пока неизвестны и будут подобраны в процессе решения задания, то ячейки B10:D10 останутся пока пустыми.

Для заполнения 16-й строки (Общая прибыль) в ячейку В16 следует ввести формулу =В8*В10 и скопировать ее для ячеек С16 и D16.

В ячейку Е16 (Итоговая общая прибыль) введите формулу =СУММ(В16:D16).

Рис. 1. Исходные данные

Необходимо отметить, что простые ограничения на независимые переменные, которые называются «Верхняя граница» и «Нижняя граница», в принципе, могут быть введены в таблицу (В13:D14) так же, как и ограничения на ресурсы. Однако Excel дает возможность вводить простые ограничения непосредственно в процессе решения с помощью диалогового окна Поиск решения. Поэтому пока воздержимся от ввода указанных ограничений в таблицу.

2. Активизируйте режим Поиск решения и введите параметры, как на рис. 2.

В качестве целевой ячейки укажите ячейку Е16 (Итоговая общая прибыль) и задайте максимальное значение суммарной прибыли.

В качестве изменяемых ячеек укажите ячейки B10:D10 (Объемы производства по видам продукции А, В, С).

Укажите ограничения на запас ресурсов $F$5:$F$7<=$E$5:$E$7 и простые ограничения на независимые переменные (Объемы производства продукции А, В, С) (рис. 2).

Рис. 2. Задание условий и ограничений для поиска решений

Установите параметры поиска решения как на рис.3. Задайте Линейную модель расчета, ОК.

Рис. 3. Задание параметров поиска решения

Запустите процесс вычислений кнопкой Выполнить. Решение будет как на рис. 4.

Рис. 4. Найденное решение максимизации прибыли при заданных ограничениях

Из полученного решения можно сделать выводы: оптимальный план производства предусматривает выпуск 4,0 ед. продукции А (соответствует верхней границе ограничений по объемам производства), 2,0 ед. продукции В (соответствует нижней границе ограничений по объемам производства) и 7,2 ед. продукции С. Полученная суммарная прибыль при этом составит 1244,0 $. Продукция В является неэффективной для производства. Ресурс Р2 является дефицитным, так как используется полностью. Имеется возможность снизить запас ресурса Р1 на 2,8 ед. или запас ресурса Р3 на 47,2 ед. без сокращения итоговой прибыли.

3. Сохраните созданный документ под именем «План производства».

Поиск по сайту: