ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН. ВЫВОД ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН

1 Общие положения. Гипотезы Кирхгофа

2 Напряжения, усилия и моменты в сечениях пластинки

3 Соотношения, связывающие усилия и моменты (Статическая сторона задачи)

4 Соотношения, связывающие перемещения и деформации (Геометрическая сторона задачи)

5 Общий вид и частные формы основного дифференциального уравнения изгиба пластин (уравнение Софи Жермен)

6 Закрепления пластинок. Граничные условия

1 Общие положения. Гипотезы Кирхгофа

Пластиной называют плоское тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей. Будем относить пластинку к правовинтовой прямоугольной системе координат . Плоскость, равноудаленная от оснований пластинки (делящая размер пополам), называется срединной плоскостью. Координатная плоскость предполагается всегда совпадающей со срединной плоскостью.

Под действием поперечной (перпендикулярной срединной плоскости) нагрузки пластинка изгибается и срединная плоскость искривляется, превращаясь в срединную поверхность пластинки (упругую поверхность). Вертикальные перемещения точек срединной поверхности обозначаются и называются прогибами пластинки.

В зависимости от формы контура пластины могут быть круглые, прямоугольные, эллиптические и т.д.

Инженерная теория изгиба пластин основывается на следующих общих гипотезах (гипотезах Кирхгофа).

I гипотеза Кирхгофа – гипотеза неизменности нормалей. Принимают, что нормали к срединной поверхности при изгибе пластины не искривляются и остаются перпендикулярными к деформированной срединной поверхности пластины. Это значит, что при деформации пластинки каждая из нормалей к срединной плоскости перемещается в пространстве как абсолютно жесткий отрезок длиной и положение всех точек пластинки после деформации становится определенным, если найдена срединная поверхность, т.е. уравнение . Для этого достаточно в каждой точке этой поверхности по обе стороны ее восстановить нормали длиной . Зная же деформированное состояние пластинки, можно вычислить и все напряжения в ней. Поэтому основным вопросом при расчете пластинок является нахождение функции . Картина деформации пластинки (рисунок 1) такая же, как и для балки, только пластинка деформируется в двух плоскостях – и . Точки, принадлежащие срединной плоскости, получают (с точностью до малых второго порядка) только вертикальные перемещения – прогибы .

Точки, не принадлежащие срединной плоскости, например, точка , находящаяся на расстоянии от срединной плоскости, получают не только вертикальные перемещения , но и горизонтальные перемещения: – в направлении оси , – в направлении оси .

Перемещения и появляются вследствие того, что нормаль к срединной плоскости переходит в новое положение, поворачиваясь на угол относительно оси (рисунок 1,а) и на угол относительно оси (рисунок 1,б).

а)

б)

Рисунок 1 – Картина деформации пластинки

В действительности перемещения очень малы ( ). Следовательно, малы и углы поворота и . Тогда, полагая

,

можем с точностью до малых второго порядка считать, что

,

т.е. вертикальные перемещения любой точки пластинки равны прогибу срединной плоскости в соответствующей точке.

Таким образом, при деформации пластинки будут происходить такие перемещения:

- – прогибы пластинки (вертикальные перемещения любой точки пластинки);

- – горизонтальные перемещения точек пластинки в направлении осей и . Для точек срединной плоскости ;

- – углы поворота нормали к срединной плоскости относительно осей и .

Поскольку заданная упругая поверхность определяет положение всех точек пластинки, а сама упругая поверхность полностью определяется функцией , то все эти перемещения могут быть выражены через . Действительно, угол поворота нормали равен углу наклона к оси касательной (рисунок 1,б), проведенной к срединной поверхности параллельно плоскости . Поэтому

и аналогично (рисунок 1,а)

В силу малости деформаций и, значит,

На рисунке 1 оба эти угла положительны.

Точка , выбранная на расстоянии от срединной плоскости, после деформации будет находиться на расстоянии от упругой (срединной) поверхности, поскольку нормаль при деформации предполагается абсолютно жесткой. Следовательно, проекции и точки на координатные плоскости и будут отстоять на от соответствующих касательных. Тогда

Знаки минус поставлены потому, что при положительных , точка перемещается в сторону отрицательных значений и . Наконец, полагая и учитывая (1), получим

II гипотеза Кирхгофа – гипотеза о ненадавливании одного слоя пластины на другой. Согласно этой гипотезе все компоненты напряжений в площадках, перпендикулярные срединной плоскости, считаются пренебрежимо малыми, т.е. напряженное состояние принимается за плоское вместо трехосного. Данная гипотеза позволяет существенно упростить математические выкладки при построении основных уравнений теории пластин, поскольку речь идет об отыскании не шести (как в общем случае), а трех компонент тензоров напряженного состояния.

Кроме указанных гипотез, принимаются допущения, что толщина пластины мала по сравнению с размерами пластины в плане и что прогиб мал по сравнению с толщиной, а также, что материал пластины – однородный, изотропный и подчиняющийся закону Гука.

Перечисленные гипотезы и допущения позволяют построить достаточно точную и простую инженерную теорию изгиба пластин.

В некоторых случаях, однако, принятые допущения могут не выполняться. Так, например, на практике иногда применяют пластины большой толщины (более 1/5 размера в плане). К таким пластинам (плитам) гипотезы Кирхгофа неприменимы. При анализе напряжений и деформаций толстых плит напряженное состояние необходимо рассматривать как трехосное.

Применяют также пластины, имеющие малую толщину, но работающие при больших прогибах. Если плоскость пластины при изгибе переходит в выпуклую поверхность двоякой кривизны, то, кроме изгибных напряжений, в пластине возникают растягивающие мембранные напряжения. При малых прогибах мембранные напряжения пренебрежимо малы, и их можно не учитывать. При больших прогибах мембранные напряжения получают преобладающее значение.

В настоящее время в машиностроении все большее применение находят пластины, изготовленные из анизотропных материалов. К ним относятся пластины из различных слоистых материалов, например, текстолита, стеклопластика и т.п.

К анизотропным относятся также пластины, подкрепленные часто расположенными ребрами. Хотя материал пластины может быть и изотропным, наличие ребер приводит к тому, что изгибная жесткость пластины в разных направлениях различна. Такие пластины обычно называют конструктивно анизотропными или конструктивно ортотропными.

а)	б)
Рисунок 2 – Стесненность деформации пластины по сравнению с деформацией стержня

Необходимо отметить еще одно обстоятельство: если пластинку (например, такую, которая изображена на рисунке 2,а) разрезать на полоски (рисунок 2,б), то, несмотря на то, что нагрузка, приходящаяся на каждую полоску, будет такой же, как и в сплошной пластинке, жесткость пластинки в целом уменьшится (прогибы увеличатся). Это связано с тем, что вследствие эффекта Пуассона сечения балок-полосок будут деформироваться, в сплошной же пластинке такая деформация без нарушения целостности пластинки, очевидно, произойти не может. Эта стесненность деформации материала в пластинке и является причиной повышенной жесткости пластинки по сравнению с эквивалентными ей (в смысле размеров) балками-полосками.

2 Напряжения, усилия и моменты в сечениях пластинки

Перейдем к рассмотрению напряжений, действующих в сечениях пластинки. Для этого четырьмя сечениями (рисунок 3)

выделим элемент пластинки . Выделенный таким образом элемент показан на рисунке 4. Напряженное состояние пластинки не является однородным. Для анализа неоднородного напряженного состояния выделяют бесконечно малые элементы. Элемент же пластинки не бесконечно малый, так как он имеет конечную высоту . Поэтому выделим из него на произвольном расстоянии от срединной плоскости слой толщиной . Этот слой и будет представлять нужный для анализа бесконечно малый элемент пластинки.

Рисунок 3 – Выделение в пластине бесконечно малого элемента

Рисунок 4 – Выделение бесконечно малого элемента толщиной

В общем случае действия нагрузки на пластинку элементы ее находятся в объемном напряженном состоянии и поэтому в каждой грани элемента действуют некоторые полные напряжения, дающие проекции на все три оси координат. Иначе говоря, в каждой грани действуют одно нормальное и два взаимно перпендикулярных касательных напряжения. Однако, согласно принятой второй гипотезе Кирхгофа, все компоненты напряжений, перпендикулярные к срединной плоскости, весьма малы, и ими можно пренебрегать по сравнению с прочими напряжениями. Речь идет о малости напряжений по сравнению с (рисунок 5).

Рисунок 5 – Компоненты тензора напряжений, перпендикулярные срединной плоскости, малы по сравнению с прочими напряжениями

В теории пластинок принято рассматривать усилия и моменты, отнесенные к единице длины того сечения, в котором они действуют (так называемые погонные усилия и моменты). Эти усилия имеют размерность , а моменты – .

Рассматривая даже внешний вид деформации пластинки, нетрудно обнаружить, что пластинка испытывает не только изгиб, но и кручение. Так, первоначально плоская полоска шириной (рисунок 3) после деформации оказывается не только искривленной, изогнутой, но и закрученной: отрезок , бывший до деформации параллельным оси , после деформации в положении оказывается повернутым по отношению к ней (а также и к «закрепленной» на ней грани пластины). Поэтому, в сечениях пластинки будут поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты.

Для усилий и моментов примем обозначения, приведенные на рисунке 8 (моменты изображены правовинтовыми векторами с двойными стрелками). Здесь – погонные поперечные силы, – погонные изгибающие моменты, – погонные крутящие моменты. Выразим усилия и моменты через напряжения. Равнодействующие усилий, распределенных по граням и элементарного слоя (рисунок 6), равны

Рисунок 6	Рисунок 7

Рисунок 8

Далее, грань элемента пластинки имеет длину , и в ней будут действовать поперечная сила , изгибающий момент , крутящий момент , а в грани , имеющей длину , – поперечная сила , изгибающий момент и крутящий момент .

По определению поперечная сила (рисунок 7) является равнодействующей элементарных усилий . Поэтому

Подставляя сюда выражение для , вынося за знак интеграла (это можно сделать, так как интегрирование производится по и сокращая обе части равенства на , получим

и аналогично

Элементарное усилие дает относительно линии элементарный изгибающий момент . Но линия принадлежит срединной плоскости, т. е. плоскости , и параллельна оси . Следовательно, произведение одновременно является моментом относительно оси , так что

Полный изгибающий момент в правой грани по определению равен сумме элементарных моментов :

Подставляя сюда выражение для и сокращая обе части ра­венства на , получим

Проведя аналогичные рассуждения, получим

При этом, учитывая закон парности касательных напряжений, обнаруживаем, что

Таким образом, в сечениях пластинки, параллельных плоскостям и , действуют погонные усилия и моменты, связанные с напряжениями следующими соотношениями:

На рисунке 8 показаны положительные направления погонных усилий и моментов, соответствующие формулам (3) – (5) и установленным ранее правилам знаков для напряжений. Заметим, что, как и в балке, изгибающие моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение в нижних волокнах пластинки. Отметим еще следующее обстоятельство. Равнодействующие усилий или, иначе, погонные усилия

должны равняться нулю, поскольку их существование привело бы к растяжениям–сжатиям и сдвигам в срединной плоскости, что противоречило бы высказанному ранее предположению о том, что срединная плоскость является нейтральной поверхностью пластинки и в ней отсутствуют какие-либо напряжения. Если прогибы пластинки малы, а условия закрепления позволяют краям пластинки свободно перемещаться в ее плоскости, то величины в действительности настолько малы, что напряжениями, которые они вызывают, можно пренебречь.

В сечениях пластинки, нормальных к срединной плоскости, но не параллельных координатным плоскостям (так называемые наклонные сечения), также действуют погонные поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты; будем обозначать их соответственно . Их можно сравнительно просто выразить через Для этого выделим треугольный элемент (рисунок 9) срединной плоскости так, что одна из его граней () будет представлять собой наклонное сечение, причем внешняя к этой грани нормаль образует с положительным направлением оси угол .

Рисунок 9

Поскольку длина грани равна , в нем будут действовать поперечная сила , изгибающий момент и крутящий момент .

В остальных гранях действуют рассмотренные выше моменты и усилия , и т.д. Под действием всех этих усилий и моментов элемент находится в равновесии.

Теперь запишем три условия равновесия элемента . Проектируя все силы на ось и беря сумму моментов относительно нормали (для этого нужно векторы моментов спроектировать на ) и сумму моментов относительно , получим:

Записывая второе и третье уравнения, мы не учитываем моменты от сил и , так как эти моменты имеют второй порядок малости (например, сила , имеющая первый порядок малости, должна быть умножена на некоторое плечо, которое имеет порядок ).

Деля все уравнения на и учитывая, что

получим

3 Соотношения, связывающие усилия и моменты (Статическая сторона задачи)

Выделим элемент (рисунок 10) срединной плоскости так, чтобы его вершинами были точки .

Здесь, в отличие, например, от случаев, показанных на рисунках 8 и 9, приходится уже учитывать, что усилия и моменты в противоположных гранях элемента различаются на величины первого порядка малости. Так, если в грани погонный изгибающий момент равен , то в грани вследствие изменения координаты он будет иметь

В грани погонная поперечная сила равна , а в грани

Аналогично будет и с другими погонными усилиями и моментами. Умножая их на длины соответствующих граней, получим полные усилия и моменты в гранях.

Рисунок 10

Кроме них, элемент может испытывать и другие силовые воздействия. Если он выделен в той части пластинки, где на нее действует распределенная нагрузка , то к элементу нужно приложить и эту нагрузку. Нагрузка, вообще говоря, распределена по пластинке неравномерно, так что , но в силу малости элемента можно считать, что по нему она в любом случае распределяется равномерно и дает равнодействующую .

Если к тому же пластинка не пребывает в покое, а совершает поперечные колебания, то к элементу нужно приложить также и инерционные силы. При поперечных колебаниях точки пластинки совершают колебательные движения в направлении оси и прогибы в разные моменты времени различны. Следовательно, в случае колебаний прогибы зависят не только от координат , но и от времени, т.е. . Скорость каждой точки равна , а ускорение – . При выводах все величины считаются положительными.

Ускорение положительно, если его вектор направлен вниз (в соответствии с выбранным направлением оси ). В силу малости элемента можно считать, что ускорения всех его точек одинаковы. Сила инерции, действующая на каждую точку элемента, противоположна ускорению и, значит, направлена вверх. Причем, как и ускорения, силы инерции распределены по всему объему элемента равномерно. Тогда равнодействующая сил инерции равна произведению массы элемента на ускорение, т.е.

Таким образом, элемент находится в равновесии под действием распределенных в гранях усилий и моментов, приложенных в центре элемента, равнодействующей внешней нагрузки и равнодействующей сил инерции .

Запишем условия равновесия элемента. Условия , и выполняются тождественно, поскольку все силы перпендикулярны к осям и и параллельны оси , а векторы-моменты перпендикулярны оси . Поэтому реальные соотношения, которым должны удовлетворять статические величины сил и , могут быть получены только из остальных трех условий равновесия: , , . Вместо последних двух уравнений удобнее взять эквивалентные им условия равенства нулю моментов относительно прямых и . В развернутом виде условия равновесия , , запишутся так:

После приведения подобных членов, сокращения уравнений на произведение и отбрасывания членов высшего порядка малости эти уравнения примут вид

выражения (12) и (13) в (11) и учитывая, что , получим

4 Соотношения, связывающие перемещения и деформации (Геометрическая сторона задачи)

В силу принятого предположения о том, что срединная плоскость является нейтральной поверхностью пластинки, мы считаем, что элемент срединной плоскости (рисунок 11) при деформации пластинки остается прямоугольным (хотя уже не плоским) и размеры его не меняются. Кроме того, все точки его получают только вертикальные перемещения, так что проекция элемента в деформированном положении пластинки на плоскость совпадает с исходным положением элемента.

Иначе будет обстоять дело с элементом , находящимся на расстоянии от срединной плоскости. Вследствие изгиба всей пластинки каждая из точек элемента будет получать перемещения в направлении осей и элемент , как и элемент срединной плоскости, будет искривляться (депланировать). Но, кроме того, в результате действия напряжений элемент будет еще деформироваться в своей плоскости (удлиняться или укорачиваться) в направлении осей и , и углы его будут искажаться (претерпевать сдвиг в плоскости ).

Введем для этих деформаций, происходящих в произвольной точке , следующие обозначения: – относительное удлинение в направлении оси , – относительное удлинение в направлении оси , – угол сдвига в плоскости (величина, на которую уменьшается прямой угол при сдвиге). Выразим эти деформации через перемещения точки . Для этого рассмотрим подробнее перемещения точек элемента .

На рисунке 11 показан элемент , расположенный в плоскости . После деформации пластинки он переходит в положение . Пунктирная фигура представляет собой проекцию элемента на плоскость . Очевидно,

Рисунок 11

Как уже упоминалось, прогибы мы считаем малыми величинами (отрезки малы). Поэтому, отбрасывая величины порядка , можно принять, что

Кроме того, ввиду малости самого элемента (, ) можно считать, что стороны , , и прямолинейны. Тогда

Для удобства вычислений будем рассматривать вид сверху на плоскость (рисунок 12).

Рисунок 12

Точка , переходя в положение , получает перемещения и . Поскольку перемещения различных точек, вообще говоря, различны ( и зависят от и ), то точки и , переходя в положения и , получают перемещения

При этом стороны и поворачиваются на малые углы и . Как нетрудно видеть,

Если перемещения точек пластинки не только малы, но и плавно меняются при переходе от одной точки к другой, то, пренебрегая произведениями малых величин и учитывая, что для любого малого с точностью до малых второго порядка и , будем иметь

Из формул (15) теперь найдем

Итак, для произвольной точки пластинки имеем следующие зависимости между деформациями и перемещениями:

Но перемещения и можно по формулам (2) выразить через прогиб :

Поэтому искомые геометрические зависимости окончательно запишутся в виде

5 Общий вид и частные формы основного дифференциального уравнения изгиба пластин (уравнение Софи Жермен)

Теперь нужно установить зависимости между напряжениями и деформациями. Для этой цели служит закон Гука. Согласно второй гипотезе Кирхгофа, элемент находится в плоском напряженном состоянии. Его можно представить как результат наложения двух напряженных состояний, изображенных на рисунке 13. В первом из них (рисунок 13,а) изменяются линейные размеры, а углы элемента остаются прямыми; во втором (рисунок 13,б) – искажаются только углы, линейные же размеры остаются неизменными. Поэтому относительные линейные деформации на рисунке 13,а и дают величины относительных удлинений и , а угол сдвига на рисунке 13,б – величину .

Тогда, учитывая, что грани элемента на рисунке 13,а являются главными площадками, и полагая, например, , из формул, выражающих обобщенный закон Гука, получим

а)	б)
Рисунок 13

или, разрешив эти выражения относительно величин и , найдем

Далее, элемент, показанный на рисунке 13,б, испытывает чистый сдвиг, поэтому закон Гука для него записывается в виде

Выразим напряжения через прогиб . Для этого подставим выражения (17) для в формулы (18) и (19):

При помощи формул (20), (5) и (6) можно выразить через прогиб также и все моменты. Например, внося выражение для в формулу (5) для и учитывая, что в формуле для интегрирование ведется по , а в выражении для ни одна из величин, кроме самой величины , от не зависит, будем иметь

Введя обозначение

и проделав аналогичные выкладки для остальных моментов, получим

Величина называется погонной, или цилиндрической, жесткостью пластинки. Она аналогична жесткости на изгиб балки прямоугольного сечения, у которой :

при этом за счет множителя , который меньше единицы, при одинаковой величине будет . Это – результат той стесненности деформации материала в пластинке, о которой ранее шла речь.

Гипотезы Кирхгофа не противоречат друг другу, однако, в конечном счете, они приводят к противоречию. Действительно, поскольку согласно этим гипотезам напряжения и принимаются равными нулю, то из (4) следует, что и погонные поперечные силы и тоже будут равны нулю. Однако, подставляя выражения (22) в формулы (12) и (13), найдем выражения, которые в общем случае не равны нулю:

Наконец, подставив (22) в (14) или (23) в (11), получим основное уравнение для пластинки

Часто, вводя гармонический оператор (оператор Лапласа)

и бигармонический оператор

основное уравнение записывают в виде

Частные случаи этого уравнения описывают различные задачи для пластинок:

1. Если в (27) является функцией от времени , т.е. , то уравнение (27) описывает вынужденные поперечные колебания пластинки, вызванные переменной во времени распределенной нагрузкой

2. Если не зависит от времени, то уравнение (27) описывает свободные (собственные) поперечные колебания загруженной постоянной нагрузкой пластинки.

3. Если , то получается уравнение

описывающее свободные колебания незагруженной пластинки.

4. Если в (27) все величины не зависят от времени, то получается уравнение

поперечного изгиба пластинки.

6 Закрепления пластинок. Граничные условия

При решении конкретных задач на поперечный изгиб пластинок реальные закрепления схематизируют.

Основными схемами закреплений являются:

- шарнирное (свободное) опирание;

- жесткая заделка;

- свободный край.

На рисунке 14 показана пластинка, имеющая все перечисленные виды опирания: края и свободно оперты, край жестко заделан, а край свободен. Свободное опирание условимся изображать пунктиром, проведенным вне пластинки параллельно контуру.

Для свободно опертых и жестко заделанных краев подобно балке имеем по два граничных условия. Так, на краях при и равны нулю прогибы и погонные изгибающие моменты отно­сительно оси , т. е.

На краю равны нулю прогибы и углы поворота нормалей к срединной плоскости относительно оси , т.е.

Рисунок 14

Для свободного же края получаются не два, а три граничных условия. Действительно, в сечении , параллельном оси , могут действовать изгибающий и крутящий моменты и поперечная сила . Поскольку это сечение является свободным краем, все эти статические величины должны в нем обратиться в нуль, т. е.

Рисунок 15

Таким образом, для пластинки (рисунок 14) будем иметь пять граничных условий по переменной : два на краю и три на краю . Основное дифференциальное уравнение (24), имея четвертый порядок по обеим переменным и , позволяет получить только такие решения, которые дают возможность удовлетворить лишь четырем граничным условиям по каждой из переменных. Для устранения этого противоречия поступим следующим образом.

Рассмотрим (рисунок 15) края пластинки и (например, края на рисунке 14). На краю выделим два соседних участка длиной . Поскольку в общем случае погонные крутящие моменты переменны вдоль любого сечения, на левом участке крутящий момент будет равен , a на правом – . Преобразуем эти моменты в статически эквивалентные им пары вертикальных сил и с плечами . Получим

откуда

На линии, разделяющей соседние элементы, получится равнодействующая сила

Но эта линия является средней линией показанного пунктиром эле­мента, на котором действует поперечная сила . Складывая с полученной выше равнодействующей, получим действующую на пунктирный элемент приведенную поперечную силу

Если эту силу разделить на длину элемента , то будем иметь погонную приведенную поперечную силу

Аналогичные преобразования на краю дадут погонную приведенную поперечную силу

Таким образом, вместо трех статических величин (изгибающего и крутящего моментов и поперечной силы) на краях мы будем иметь две – изгибающий момент и приведенную поперечную силу – и, соответственно, не три, а два граничных условия для свободного края. Так, например, вместо условий (32) будет

Преобразование крутящих моментов в дополнительные поперечные силы искажает действительную картину распределения касательных напряжений, оно равносильно замене касательных напряжений и напряжениями и . Однако согласно известному в теории упругости принципу Сен-Венана это искажение распространяется только на узкую область у краев пластинки.

Необходимо отметить, что в углах пластинки силы, получающиеся от преобразования крутящих моментов в двух сходящихся гранях, складываются и дают приложенную к ребру сосредоточенную силу (рисунок 16) величиной

Полная картина действующих в краевых гранях пластинки погонных и сосредоточенных сил и погонных изгибающих моментов представлена на рисунке 16 (показаны положительные направления усилий и моментов).

Рисунок 16

Приведенные поперечные силы могут быть выражены через прогиб . Для этого нужно подставить выражения (22) и (23) в (33) и (34). В результате будем иметь

Теперь можно все виды граничных условий также выразить че­рез . В сечении прогиб является функцией одной только переменной , т. е. , a если для точек этого сечения , то, значит, здесь и

Отсюда можем заключить, что для такого сечения равенство

или, что то же (см. 22),

равносильно равенству

Учитывая это обстоятельство, а также формулы (30), (31), (35) и (1), можем записать граничные условия в следующем виде:

а) край свободно оперт –

Поиск по сайту: