ЛЕКЦИЯ 9 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН

1 Метод двойных тригонометрических рядов

2 Метод Бубнова-Галеркина

3 Метод Власова-Канторовича

4 Метод конечных разностей

5 Изгиб круглых пластин

1 Метод двойных тригонометрических рядов

При расчете пластинок, как и вообще во многих вопросах теории упругости, решения часто разыскиваются в форме тригонометрических рядов – одинарных (т.е. обычных, одинарных рядов Фурье) или двойных. Следует привести некоторые результаты, относящиеся к теории таких рядов.

Функция , задаваемая в интервале , может быть разложена в ряд Фурье по синусам и косинусам кратных аргументов

или

где коэффициенты разложения определяются по формулам

Для получения этих формул достаточно обе части равенства (20.70) на , а равенство (20.71) – на и выполнить интегрирование в пределах от . Тогда, поскольку

все слагаемые сумм (20.70) и (20.71), за исключением одного слагаемого, для которого , в результате интегрирования обратятся в нулю а два отличных от нуля слагаемых приведут к формулам (20.72) и (20.73).

Функция двух переменных , заданная в области , может быть разложена в двойной тригонометрический ряд Фурье

Для получения коэффициентов достаточно умножить обе части этого выражения на и проинтегрировать по в пределах , а по – . С учетом (20.74) это даст

Вместо синусов кратных аргументов в (20.75) можно, конечно, брать косинусы (или обе функции), но практическую ценность для расчета пластинок имеет только двойной ряд по синусам. Заметим также, что разложения (20.70), (20.71) и (20.75) действительно представляют функцию только в том случае, если эти функции удовлетворяют определенным ограничениям (условиям Дирихле), которые для пластинок, как правило, оказываются выполненными. В настоящем параграфе рассмотрим применение двойных тригонометрических рядов на следующем примере.

Вместо синусов кратных аргументов в (20.75) можно, конечно, брать косинусы (или обе функции), но практическую ценность для расчета пластинок имеет только двойной ряд по синусам. Заметим также, что разложения (20.70), (20.71) и (20.75) действительно представляют функцию только в том случае, если эти функции удовлетворяют определенным ограничениям (условиям Дирихле), которые для пластинок, как правило, оказываются выполненными. В настоящем параграфе рассмотрим применение двойных тригонометрических рядов на следующем примере.

Пусть прямоугольная шарнирно опертая по всему контуру пла­стинка (рисунок 1) подвергается действию равномерно распределенной нагрузки .

Рисунок 1 – К примеру использования метода двойных тригонометрических рядов

Ищем решение задачи, т.е. функцию , так как через нее выражаются все перемещения, моменты и усилия, в виде двойного тригонометрического ряда

Функция прогибов должна удовлетворять основному дифференциальному уравнению (см. формулы 20.58 и 20.60)

и граничным условиям, которые для всестороннего свободного опирания согласно (20.64) и (20.67) будут иметь вид

Нетрудно убедиться, что выражение (20.77) обеспечивает выполнение всех условий (20.79). Например,

Поэтому, если найти коэффициенты так, чтобы было удовлетворено уравнение (20.78), то функция (20.77) и будет искомым решением задачи. Чтобы найти подставим (20.77) в (20.78). Получим

Умножим обе части этого выражения на , где – какие-либо из значений , и проинтегрируем по в пределах и по . В результате, учитывая (20.74), будем иметь

Поскольку

то для любых нечетных получим

Таким образом, функция прогибов будет иметь вид

В частности, для квадратной пластинки ()

Этот ряд, как и (20.83), сходится очень быстро, так что практически можно ограничиться только первым членом ряда и вычислять прогибы по формуле

Максимальный прогиб будет в центре пластинки . Он равен

Пользуясь формулами (20.62) и (20.63), можно записать выражения для изгибающих и крутящих моментов, например:

Далее, согласно (20.38) и (20.62) найдем сосредоточенные реакции в углах пластинки

причем вместо в это выражение нужно подставить координаты точек т.е. . В результате получим

где

и, значит, все сосредоточенные реакции в углах будут направлены вниз (рисунок 2).

Рисунок 2

Наконец, пользуясь формулами (20.39) и (20.83), получим выражения для распределенных реакций на краях

причем знак плюс относится к краям и , a минус – к краям и , так что согласно рис. 603 все распределенные реакции будут направлены вверх. На рисунке 2 показаны распределенные по краям и приложенные в углах реакции опор и приложенная к пластинке нагрузка.

Можно убедиться, что под действием всех этих нагрузок пластинка находится в равновесии. Для этого прежде всего представим в виде

Это выражение получается, если в (20.75) и (20.76) положить и учесть, что

Тогда, пользуясь формулами (20.91), (20.92), (20.89) и (20.90) можем вычислить сумму проекций всех сил на ось (которая направлена вертикально вниз):

Здесь двойное суммирование выполняется по индексам Представив в двух последних суммах множитель , в виде будем иметь

Этот метод был впервые предложен в 1820 г. французским инженером и математиком Навье. Метод двойных тригонометрических рядов прост и по своей идее и по технике получения результата в рядах. Однако, что касается числовых результатов, то здесь дело обстоит несколько хуже: ряды, определяющие функцию , имеют очень хорошую сходимость и при вычислениях можно ограничиваться одним или двумя первыми членами; ряды же, определяющие усилия и моменты, имеют значительно более слабую сходимость, и здесь приходится учитывать много членов. Кроме того возможности метода ограничены тем, что он применим только для прямоугольных пластинок, имеющих по всему контуру свободное опирание. На практике он применяется для расчета прямоугольных свободно опертых пластинок при различных видах поперечной на грузки. В частности, для пластинки, которая загружена силой в точке будем иметь следующее выражение для функции прогибов:

2 Метод Бубнова-Галеркина

Этот метод, так же как и метод Ритца, широко применяется для приближенного решения задач строитель­ной механики машин и, в частности, для расчета пластин. Решение с помощью этого метода часто получается более простым, так как он не требует вычисления потенциальной энергии системы, иногда, однако, метод Галеркина дает большую погрешность, чем метод Ритца,- а в некоторых случаях он вообще не применим (например, в задачах о деформациях пластин с ребрами).

Поясним сущность метода Галеркина на примере изгиба пла­стины. Подставим дифференциальное уравнение упругой поверх­ности пластины (6.18) в следующем виде:

Функция должна удовлетворять этому уравнению, а также граничным условиям на краях пластины.

Зададимся функцией в виде ряда (6.95). При подстановке этого ряда в дифференциальное уравнение (6.97) левая часть урав­нения не обращается в нуль, а превращается в некоторую функцию от

Эту функцию – ошибку можно представить как некоторое дополнительное давление , отнесенное к жесткости :

Для того чтобы выбранная функция мало отличалась от действительной, следует подобрать параметры так, чтобы дополнительное (несбалансированное) давление , насколько возможно мало отличалось от нуля. Для этого необходимо, чтобы работа давления на возможных перемещениях была равна нулю. В данном случае возможными являются перемещения, определяемые функциями Приравняв нулю работу давления на этих перемещениях, получим следующую систему уравнений:

или в другом виде

Уравнения (6.99) известны под названием уравнений Галеркина. Решение задач по методу Галеркина практически сводится к следующему. Задавшись функцией , удовлетворяющей граничным условиям и содержащей неопределяемые параметры , следует подставить ее в дифференциальное уравнение (6.97). Затем левую часть уравнения надо умножить поочередно на и , проинтегрировать по всей области и интегралы приравнять нулю. В результате получим систему уравнений, из которой определяются параметры ...

При бесконечном числе членов ряда (6.95) метод Галеркина позволяет получить точное решение задачи (при условии, что система функций , ... будет полной). Если же взять один или несколько членов ряда, то получится приближенное решение. Это решение будет тем точнее, чем ближе будет выбранная функция к действительной.

Следует заметить, что функция должна удовлетворять по возможности всем граничным условиям на краях, как геометрическим, так и силовым. При неудовлетворении хотя бы части граничных условий решение по методу Галеркина дает большую погрешность, чем решение по методу Ритца.

Пример. Определить прогиб прямоугольной пластины, жестко заделан­ной по контуру и нагруженной равномерным давлением.

Обозначив стороны пластины через и и выбрав начало координат в центре, зададимся уравнением упругой поверхности в виде

Эта функция удовлетворяет граничным условиям на краях:

При введении функции в уравнение (6.97) левая часть уравнения принимает вид

Функцию умножим снова на , проинтегрируем по всей поверх­ности пластины и интеграл приравняем нулю:

Вычислив интегралы, получим алгебраическое уравнение

из которого найдем прогиб в центре

Этот результат совпадает с результатом, полученным для той же пластины по методу Ритца (см. пример 6.3).

3 Метод Власова-Канторовича

По этому методу искомую функцию представляют в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая только от :

Одной из этих функций, например , задаются в соответствии с граничными условиями, а вторую определяют, используя прин­цип возможных перемещений.

В результате подстановки выбранной функции в дифференциальное уравнение (6.97) левая часть уравнения дает функцию – ошибку . Последнюю можно представить как некоторое дополнительное давление (отнесенное к жесткости). Для того чтобы функция по возможности мало отличалась от нуля, необходимо, чтобы работа давления на возможном перемещении была равна нулю. В качестве возможного перемещения примем

тогда получим

или

Это уравнение удовлетворяется при условии

Подставив под знак интеграла выражения функций и и выполнив интегрирование по , придем к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции . Последнее интегрируется обычным порядком. Получающиеся при интегрировании произвольные постоянные определяются согласно граничным условиям на краях пластины.

Метод Кантаровича имеет преимущество перед методом Галеркина в тех случаях, когда характер деформации пластины или не совсем ясен, или таков, что для получения решения с требуемой точностью первого приближения по методу Галеркина недостаточно.

4 Метод конечных разностей

При решении задач этим методом область интегрирования разбивают на ряд конечных интервалов и дифференциальное уравнение заменяют уравнением в конечных разностях, т.е. уравнением, в котором производные выражены через разности значений функций в соседних узловых точках.

Применяя уравнение ко всем узловым точкам, получают систему алгебраических уравнений с неизвестными; решение этой системы дает значения искомой функции в этих точках.

Поясним метод конечных разностей вначале на примере балки (рисунок 3). Разобьем длину балки на несколько одинаковых участков с шагом и обозначим через прогиб в точке на границе участков.

Рисунок 3

Значения прогиба в соседних точках будут соответственно: . Составим выражения первых разностей:

Разделив первую разность на шаг, получим приближенное значение первой производной. В дальнейшем будем пользоваться только осредненными разностями, которые более точно характеризуют значения производных. Для первой производной получим выражение

Определим теперь вторую разность, для этого возьмем разность значений первых разностей «вперед» и «назад»:

Отношение второй разности к квадрату шага дает приближенное значение второй производной

Аналогично составляют разности более высоких порядков. Из теории изгиба бруса известны следующие дифференциальные уравнения, связывающие между собой прогиб, изгибающий момент и интенсивность распределенной нагрузки :

За положительные направления и принято направление вниз, за положительное направление – направление, при котором сжатые волокна расположены сверху.

Заменив вторые производные, согласно равенству (6.105), получим уравнения изгиба балки в конечных разностях:

Пример. Вычислить изгибающий момент и прогиб балки, изображенной на рисунке 3.

Возьмём число участков, равное четырем, тогда . Применим уравнение (6.108) к точкам 1 и 2. При и получим

По этим уравнениям найдем

Полученные значения совпадают с точными значениями изгибающего момента при Применим к тем же точкам уравнение (6.107). Приняв во внимание, что при , получим

Решение этой системы уравнений дает следующие значения перемещений:

Полученное значение максимального прогиба отличается от точного значения приблизительно на 5%. Более точный результат можно получить, разбив длину балки на большее число участков.

При расчете пластин по методу конечных разностей плоскость пластины покрывают сеткой пересекающихся линий. Для простоты возьмем ортогональную сетку с одинаковым шагом по обоим направлениям (рисунок 4). Рассмотрим некоторую точку , расположенную на пересечении линий, обозначенных буквами .

Рисунок 4

Значения прогиба пластины в этой точке, а также в соседних узловых точках будем обозначать так, как указано на рисунке 4.

Составим выражения первых разностей по :

Отношение этих разностей к шагу сетки дает приближенное значение первых производных по :

Составим выражение вторых разностей. Эти разности могут быть трех видов: по , по и смешанные:

Отношение вторых разностей к квадрату шага сетки прибли­женно выражает вторые производные:

Аналогично можно составить третьи, четвертые разности и т.д. В общем случае решение дифференциального уравнения изгиба пластины (6.18) требует вычисления четвертых разностей.

Если же края пластины прямолинейные и закреплены шарнирно, то можно ограничиться вторыми разностями. В этом случае уравнения теории изгиба пластин (6.10), (6.11) и (6.18) преобразуют следующим образом. Сложив уравнения (6.10) и (6.11) и введя обозначение

получают

Дифференциальное уравнение (6.18) принимает вид

Система двух уравнений (6.114) и (6.115) второго порядка эквивалентна одному уравнению (6.18) четвертого порядка.

Заменив вторые производные их приближенными выражениями (6.112), придем к следующим уравнениям в конечных разностях:

В таком виде уравнения удобны для расчета пластин с прямолинейными шарнирно опертыми краями, так как в этом случае на контуре и, следовательно, .

Пример. Определить значения изгибающих моментов и прогибов для квадратной пластины с шарнирно опертыми краями, нагруженной равномерным давлением (рисунок 5). Длину стороны пластины обозначим через ; шаг сетки возьмем равным Ввиду симметрии достаточно рассмотреть одну восьмую часть квадрата, которая на чертеже заштрихована.

Применим уравнение (6.117) поочередно к точкам 0, 1, 2:

Рисунок 5

Подставив значения вторых разностей согласно формулам (6.111) и приняв во внимание, что в точках 3, 4, 5, , получим

Решение этой системы уравнений дает

Зная теперь функцию в узловых точках, применим уравнение (6.116) к тем же точкам 0, 1, 2:

После подстановки значений вторых разностей из уравнений (6.111) с учетом того, что , получим

откуда

Вычисленный прогиб в центре пластины

отличается от точного значения

меньше чем на 1%.

Подсчитаем изгибающие моменты. В центре пластины по условию симметрии

следовательно,

Точное же значение момента

Здесь погрешность составляет 4,5%. Для повышения точности решения следует взять более мелкую сетку.

5 Изгиб круглых пластин

В тех случаях, когда пластинка не прямоугольная, а круглая, полукруглая, кольцевая и т.д., решение в прямоугольных координатах становится чрезвычайно громоздким и здесь лучше воспользоваться полярными координатами. Эти координаты вводятся соотношениями (рисунок 7)

или

В полярных координатах элемент пластинки выделяется сечениями

В этих сечениях действуют поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты. Обозначения и положительные направления этих усилий и моментов показаны на рисунке 8.

Рисунок 7

Рисунок 8

Усилия и моменты и т.д. не совпадают по величине с действующими в той же точке и т.д.; т.е. усилия и моменты, как и напряжения, не инвариантны по отношению к выбору системы координат. Что же касается прогиба , то, очевидно, в любой точке он имеет вполне определенную, не зависящую от координатной системы, величину. Это значит, что функция инвариантна по отношению к выбору системы координат.

Для того чтобы иметь возможность решать конкретные задачи в полярных координатах, нужно величины , и т.д. выразить через производные по и от инвариантной функции . Так,

Но согласно (37) и (38)

Тогда

и далее получим

откуда

Внося выражения для вторых производных в формулы (22) найдем

Подставляя последние выражения в (10) и полагая для площадки (рисунок 8) а для площадки , получим

Подобным образом из (10), (16), (23) и (41) найдем

Для приведенных поперечных сил

Дифференциальные уравнения поперечного изгиба и свободных колебаний пластинки будут иметь вид:

Граничные условия в полярных координатах аналогичны тем, которые были получены для прямоугольной пластинки. Для края они следующие:

а) свободное опирание

б) жесткая заделка

в) свободный край

Для края :

а) свободное опирание

б) жесткая заделка

в) свободный край

Кроме того, в углах пластинки могут действовать сосредоточенные силы

Если пластинка имеет два соседних свободных края и , то в дополнение к отмеченным выше граничным условиям должно выполняться условие равенства нулю сосредоточенной силы в угловой точке, т.е.

Если пластинка круглая (сплошная или с отверстием), нагрузка не зависит от угла и опорные устройства одинаковы вдоль контура, то прогибы, усилия и моменты также не будут зависеть от и получим так называемый полярно-симметричный изгиб пластинки. В этом случае все производные по равны нулю, и из ранее выведенных соотношений получаем:

Усилия и моменты:

Уравнение (54) может быть представлено в следующем развернутом виде:

Решение уравнения отыскивается в виде:

Это приведет к характеристическому уравнению:

которое простым преобразованием может быть приведено к виду:

Отсюда получаем корни двойной кратности:

Общий интеграл уравнения (57) будет

Имея в виду, что , найдем частное решение

Следовательно

Располагая четырьмя коэффициентами всегда можно точно удовлетворить граничным условиям полярно-симметричного изгиба круглой пластинки. Произведя подстановку решения (59) в соотношения (56), можем в окончательном виде сформулировать граничные условия:

а) свободное опирание

т.е.

б) жесткая заделка

т.е.

в) свободный край

т.е.

Поиск по сайту: