АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод касательных

Читайте также:
  1. A. Выявление антигенов вируса в мокроте методом ИФА.
  2. D. Генно-инженерным методом
  3. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  4. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  5. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  6. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  7. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  8. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  11. I. Методические основы
  12. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов

 

Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f (x) более простой функцией, в данном случае касательной.

Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f (x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс.

 

 

 

Уравнение касательной к кривой f (x) в точке M 0(x 0, f (x 0)) имеет вид

y – f (x 0) = f ¢(x 0)(x – x 0),

а следующее приближение x 1, являющееся точкой пересечения касательной с осью абсцисс, дается формулой

 

Аналогичным образом можно найти и приближения

,

строя касательные последовательно из точек М1,…..,М n-1, не забывая, что f ¢(xn) ¹ 0.

Метод касательных является условно сходящимся методом, то есть для его сходимости

 

 

должно быть выполнено следующее условие в области поиска корня

 

 

x * - искомое значение корня..

При произвольном нулевом приближении итерации будут сходиться, если всюду будет выполнено полученное выше условие. В противном случае сходимость будет лишь в некоторой окрестности корня.

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы следующие критерии.

1. Максимальное число итераций. Этот критерий необходим в случае, если методы не сходятся. Тем не менее, трудно заранее определить, сколько итераций будет необходимо для получения удовлетворительной точности.

2. Слабая вариация приближения к корню:

xn +1 – xn ½ < e или ½ xn +1 – xn ½ < e½ xn ½ (2)

 

3. Достаточно малое значение функции ½ f (xn)½ < e.

Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону

Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (2) достаточно нескольких итераций. Невыполнение условия (2) при i >10обычно указывает на отсутствие сходимости, ошибку в формулах или в программе.

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)