Решение интегральных уравнений

Мы ограничимся рассмотрением линейных одномерных уравнений. Будем полагать, что . Это так называемые ядра Гильберта- Шмидта. Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма второго рода, . Здесь – заданная непрерывная функция. Их теория значительно проще, чем уравнений первого рода.

Их анализ принято проводить по схеме, которая называется “альтернатива Фредгольма”. Альтернатива Фредгольма представляет собой систему теорем, которые можно представить в следующем виде.

Среди уравнений Фредгольма второго родавыделим уравнения с вырожденными ядрами.

Определение. Ядро называется вырожденным, если его можно представить в виде суммы , то есть произведений функций, зависящих только от или только от .

Любое ядро можно приблизить к вырожденному, например, разложением в ряд Фурье или по какой-нибудь другой ПОНС. Без ограничения общности будем считать, что системы функций как и линейно независимы. Если это не так, и, например, линейно выражается через остальные ,то мы просто получим представление ядра c меньшим числом слагаемых. Мы будем рассматривать уравнение . Подставив в него представление ядра, получим

Пусть решение этого уравнения при заданном существует. Обозначим . Тогда . Обозначим . Тогда для нахождения получим эквивалентную систему алгебраических уравнений .

Легко проверить обратное. Таким образом, мы установили биекцию между решениями неоднородного уравнения Фредгольма второго рода и решениями системы линейных алгебраических уравнений.

Пример 1. Исследовать разрешимость и для каждого построить решение уравнения .

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Обозначим . Тогда . Подставив в выражение для и , получим , а .

Итак, при , то есть однородное уравнение имеет только тривиальное решение, а значит, исходное неоднородное уравнение имеет единственное решение. При , при решение . Поэтому, для этих значений вопрос о разрешимости неоднородного уравнения сводится к проверке ортогональности функции собственным функциям однородного сопряжённого уравнения . Найдем собственные функции однородного сопряжённого уравнения.

Обозначим , а . Тогда , а и . При , а произвольно, тогда и . Это значит, что при решение уравнения есть, но оно не единственно. При , а произвольно, откуда и , то есть у исследуемого неоднородного уравнения при решений нет.

Решим это уравнение. Обозначим . Тогда . Подставив в выражение для и , получим , а . Если , то , а и единственное решение дается формулой . Рассмотрим вырожденные случаи.

При , а , следовательно, решений нет, как и было установлено ранее;

При , где C - произвольная постоянная, поэтому

, то есть решение не единственно, и определяется с точностью до собственной функции ядра , отвечающей

Пример2. Решить уравнение

,

В результате получаем систему уравнений:

.

Вычисляя интегралы, имеем:

Пример 3. Решить уравнение .

Обозначим , а , тогда решение примет вид , а СЛАУ для определения и имеет вид

Итак, = C - произвольно,, а . Искомое решение

определяется неоднозначно:

Замечание. В рассматриваемом случае совпадает с характеристическим числом однородного уравнения . Поэтому решение неоднородного уравнения оказалось не единственно, и определилось с точностью до собственной функции соответствующего однородного уравнения, отвечающей характеристическому числу . Действительно, используя введенные выше обозначения, решение однородного уравнения представим в виде . Постоянные и найдем из системы нетривиальное решение которой , и существует при . Таким образом, - характеристическое число, а - отвечающие ему собственные функции.

Пример 4. Решить уравнение

. Обозначим , тогда решение, если оно существует, можно записать в виде . Подставляя это выражение в формулу для определения постоянной C, получим уравнение

, которое решений не имеет. Поэтому исследуемое интегральное уравнение Фредгольма решений также не имеет.

Если ядро не является вырожденным, то, как правило, его можно разложить по какой либо ПОНС. Можно доказать, что решения, взятые по последовательным приближениям, будут сходиться (это используется, как один из численных методов).

Пример 5. Решить уравнение .

Если , то .

Пусть . Тогда . И так далее…

Однородное интегральное уравнение Фредгольма может не иметь характеристических значений или они не будут действительными. Напомним, что все характеристические значения самосопряженного оператора - вещественные числа.

Пример 6. Показать, что оператор Фредгольма не имеет характеристических чисел.

Рассмотрим уравнение и покажем, что ни для одного у него не существует нетривиальных решений.

Обозначим , тогда , и для определения C имеем .

Следовательно, y (x) ≡ 0 при любом , т.е. характеристических чисел у исследуемого оператора нет.

Пример 7. Найти характеристические числа и построить ортонормированные собственные функции однородного уравнения Фредгольма с непрерывным вырожденным симметрическим ядром

.

Представим ядро в виде и обозначим

, . Тогда , где , а

Однородная система имеет нетривиальные решения при условии , тогда характеристические числа , а

При и собственная функция , а собственная функция . Так как собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то искомая ортонормированная система имеет вид .

Если оператор несамосопряженный, то характеристические числа могут не быть действительными.

Пример 8. Найти характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с вырожденным кососимметрическим ядром .

Требуется найти такие λ, при которых существуют нетривиальные решения уравнения . Обозначим , а . Тогда и для определения и получим соотношения , . Тогда . Нетривиальные решения системы существуют при условии

, . Найдём собственные функции. При

Положим С - произвольная постоянная. Тогда и собственные функции . При также положим С - произвольная постоянная. Тогда и собственные функции .

Пример 9. При каких к интегральному уравнению Фредгольма второго рода применим принцип сжимающих отображений в пространствах C [0,1] и в ? При найти решение с точностью до 0.01 и сравнить его с точным решением.

Обозначим через . Тогда наше уравнение запишется в виде x=F(x), то есть искомое решение есть неподвижная точка отображения F. Поскольку оба пространства C [0,1] и являются полными, то для того, чтобы применить принцип сжимающих отображений нужно показать, что F - сжимающее отображение пространства в себя.

Рассмотрим пространства C [0,1].

Обозначим через , тогда F(x)=Z(t)+Y(t) и для проверки непрерывности F достаточно проверить, что Z(t) непрерывна.

, где - некоторая постоянная, так как определенный интеграл сходится. Значит, - непрерывный функционал. Таким образом F - отображение C [0,1] в себя.

Проверим, является ли отображение F сжимающим, то есть такое, что . Оценим .

Обозначим через . Следовательно, отображение F является сжимающим, если (, то есть . При этих значениях l к интегральному уравнению Фредгольма можно применить теорему Банаха, согласно которой уравнение имеет единственное решение.

Оценим количество приближений из формулы

;

Имеем

В нашем случае , пусть , тогда . Значит . Откуда получаем неравенство на , таким образом по крайней мере является решением данного уравнения с точностью 0.01.

Найдем .

Итак, приближенное решение данного уравнения имеет вид

.

Найдем точное решение данного уравнения, так как это уравнения с вырожденным ядром. Обозначим через .

Тогда , поэтому

;

Значит, точное решение имеет вид

.

Сравним его с приближенным :

;

Проведем аналогичные расчеты для пространства . Обозначим через . Тогда

.

Таким образом F(x) отображает в себя и является сжимающим, если к данному уравнению можно применить принцип сжимающих отображений. В этом случае понадобится число итераций, определяемое соотношением

т.е.

Откуда n=3.

Пример 10. Найти решение интегрального уравнения Фредгольма при всех значениях и при всех значениях параметров a и b.

.

Решение. В соответствии с альтернативой Фредгольма рассмотрим следующие уравнения:

Рассмотрим решение уравнения

где Таким образом, решение уравнения нужно искать в виде Вычислим C ₁ и C ₂ из следующей системы:

В соответствии с теорией разрешимости линейных систем, система имеет ненулевое решение относительно C ₁ и C ₂ в том случае, если ее определитель равен нулю:

Это значит, что при система имеет ненулевое решение, а при . Рассмотрим два случая.

а) . Уравнение (2) имеет только нулевое решение, тогда уравнение (1) имеет решение при любой правой части, т.е., при . Будем его искать в виде:

где

Откуда

Получим следующее решение уравнения (1) при :

б) . В этом случае мы должны вычислить линейно независимые решения уравнения

где

После вычисления интегралов получим, что линейно независимыми решениями будут функции:

Таким образом, уравнение (1) разрешимо, если а и b удовлетворяют системе уравнений:

Из решения систем имеем, что . При уравнение (1) разрешимо при и его решение где C ₁ и C ₂ любые константы.

Решить интегральные уравнения

1.

2.

3.

4.

Поиск по сайту: