Математическое описание случайных погрешностей

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Наиболее общей характеристикой непрерывной случайной величины Х является плотность распределения ее вероятности, которая определяется как:

,

где dF(x) – вероятность значений случайной величины х в интервале dх.

Кроме этого используется функция распределения вероятностей случайной величины

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от минус бесконечности до некоторого значения, меньшего x₁.

Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F( -∞)=0, а F(+∞)=l. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале между x₁ и x₂, равна:

В практике электрорадиоизмерений чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределениями.

Случайная величина Х распределена нормально, если ее плотность вероятностей имеет вид:

где σ – среднее квадратическое отклонение (CКО), m=M[X]–математическое ожидание.

Математическое ожидание М[Х] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует ее среднее значение. Величина D_сл=Х–М[Х] является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

Приведем рисунок, на котором показана дифференциальная функция нормального распределения f(х).

Видим, что с уменьшением s уменьшается рассеяние результатов вокруг X.

Равномерное распределение, показанное на рис. 2, аналитически записывается в виде

Вероятность появления погрешности в интервале х₄–х₃ при этом равна

Примером случайной погрешности, имеющей равномерное распределение, является погрешность отсчета по шкале прибора и погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.

Поиск по сайту: