АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

КРАТКИЙ КУРС

Читайте также:
  1. Биологический смысл основных религиозных понятий. Краткий словарь
  2. Биологический смысл основных религиозных понятий. Краткий словарь.
  3. ВВЕДЕНИЕ. КРАТКИЙ КУРС ПО УПРАВЛЕНИЮ ГОСУДАРСТВОМ
  4. Глава 1. Краткий очерк развития социальной психологии
  5. История Восточной Фаланги : краткий курс
  6. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ВОЗНИКНОВЕНИЯ И СТАНОВЛЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ РЕАНИМАТОЛОГИИ.
  7. Краткий конспект лекции для подготовки к первому прыжку по курсу AFF
  8. Краткий курс истории RAF
  9. Краткий курс истории RAF
  10. Краткий курс истории RAF
  11. Краткий курс лекций

В рамках теории вероятностей на основании обобщения знаний о случайных явлениях в природе и человеческом обществе построен ряд моделей распределения вероятностей, которые в некоторых ситуациях удовлетворительно описывают исследуемые закономерности. Для каждой модели (закона распределения) установлены и условия её применимости. Если при рассмотрении некоторого явления исследователь считает, что имеющие место условия совпадают с условиями применимости того или иного закона, то можно воспользоваться соответствующим законом распределения.

Биномиальное распределение.

Пусть реализуется схема опы­тов Бернулли: проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с постоянной вероятностью р. Число появлений события А в этих n опытах есть дискретная случайная величина X, возможные значения которой: 0; 1; 2; …; m; …; n.

Законом распределения этой случайной величины является формула, определяющая вероятность того, что в конкретной серии из n опытов событие А появляется ровно m раз. Такая вероятность, а, следовательно, закон распределения, задается формулой Бернулли, или биномиальным законом распределения:

Р(Х = m) = Рm,n = Сnm × pm ×(1 – p) n-m.

Числовые характеристики случайной величины X, распре­деленной по биномиальному закону:

mx = n × p, Dx = n × p ×(1 – p), sx = .

 

Задача 24. Какова вероятность того, что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза?

Решение.

Здесь n = 10, m = 2, р = 1/6, q = 1 – р = 5/6.

Искомая вероятность: Р 2,10 = С 102×(1/6)2×(5/6)8» 0,29.·

Задача 25. Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты орёл выпадет ровно 5 раз.

Решение.

Здесь вероятность выпадения орла при одиночном испытании р =1/2; отсюда q = 1 – p = 1/2.

По формуле Бернулли получаем:

Р 5,10 = С 105×(1/2)5×(1/2)5

Задача 26. Автомобиль, подъезжая к перекрёстку, может продолжить движение по любой из трёх дорог: А, В или С – с одинаковой вероятностью. К перекрёстку подъезжа­ют пять автомобилей. Найти среднее число автомашин, которое поедет по дороге А, и вероятность того, что по дороге В поедет три автомобиля.

Решение.

Число автомашин, проезжающих по каждой из дорог, является случайной величиной.

Если предположить, что все подъезжающие к перекрёстку автомобили совершают поез­дку независимо друг от друга, то эта случайная величина рас­пределена по биномиальному закону с n = 5 и р = 1/3.

Следовательно, среднее число автомашин, которое просле­дует по дороге А, есть m = 5/3, а искомая вероятность:

Р(Х =3 ) = С 53×(1/3)3×(2/3)2» 0,165.·

Распределение Пуассона.

Пусть событие А может появиться в любой момент времени. При этом выполнены следующие условия:

1) события происходят независимо друг от друга;

2) появление события А на данном отрезке времени не зави­сит от расположения временного отрезка на оси времени;

3) вероятность появления события А за бесконечно малый интервал времени Dt более одного раза есть бесконечно малая величина по сравнению с Dt (в этой связи закон Пуассона назы­вают законом редких событий).

Число появлений события А за выбранный промежуток вре­мени t подчиняется закону Пуассона:

P(X = m) = ,

где l – среднее число событий А, появляющихся за едини­цу времени.

Этот закон однопараметрический, т.е. для его задания тре­буется знать только один параметр l. Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия в законе Пуассона чис­ленно равны: mx = Dx = l.

Задача 27. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?

Решение.

1) Здесь вероятность р = 0,01 мала, а число n = 100 велико, причём m = n × р = 100 × 0,01 = 1.

2) Используя закон Пуассона для искомой вероятности, получаем следующее значение:

P 2,100


 

Одним из классических примеров применения закона Пуас­сона является описание числа запросов на соединение, посту­пающих на телефонную станцию.

Задача 28. Пусть в середине рабочего дня среднее число зап­росов равняется 2 в секунду. Какова вероятность того, что 1) за секунду не поступит ни одной заявки, 2) за две секунды поступит 10 заявок?

Решение.

Поскольку правомерность применения закона Пу­ассона не вызывает сомнения и его параметр задан (l = 2), то решение задачи сводится к прямому применению формулы Пуассона.

1) t = l, m = 0: P(Х =0 ) 0,135.

2) t = 2, m = 10: P(Х =10 ) 0,005.·

 

Закон равномерной плотности.

Пусть непрерывная случайная ве­личина Х может принимать лю­бые значения лишь на отрезке [ а, b ] и нет оснований считать, что появление одних возможных зна­чений вероятней других. При вы­полнении этих условий говорят, что случайная ве­личина Х распределена с равномер­ной плотностью. В этой связи целесообразно считать, что плот­ность вероятности f(x) имеет вид:

.

График такой функции представлен на рис. 3.

 

Рис. 3. График равномерной плотности распределения

 

Поскольку площадь, ограниченная любой кривой распределения, равна1,легко найти значение константы с из равенства с × (bа) = 1, с = 1/(ba).

Теперь можно сказать, что случайная величина Х распреде­лена на отрезке [ а, b ] равномерно, если:

.

Основные числовые характеристики равномерно распреде­ленной случайной величины:

,

,

.

Задача 29. Минутная стрелка часов делает скачок на сосед­нее деление, когда реальное время превышает указывае­мое значение на полминуты. При взгляде на часы фикси­руется показываемое ими время. Какова средняя ошибка в показаниях таких часов и каков разброс этой ошибки?

Решение.

В каждый момент времени показания часов есть случайная величина, показывающая реальное время с некото­рой ошибкой. Взгляд на часы производится в случайно выб­ранный момент, поэтому целесообразно предположить, что ошибка в показаниях часов имеет равномерную плотность распределения.

Т.к. рассогласование между реальным временем и пока­заниями часов находится в пределах от –0,5 до +0,5, то следует положить а = –0,5, b = +0,5. Следовательно:

.

Это означает, что систематическая ошибка отсутствует и

Нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если её плот­ность вероятности описывается функцией:

,

где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение.

Соответственно, функция распределения равна:

.

График плотности вероятности для нормального закона приведен на рис. 2. Нормальный закон возникает в тех случаях, когда случайная величина Х есть сумма большого числа слу­чайных величин, распределенных по произвольному закону, но каждая из них не является доминирующей.

Наиболее ярким примером является ошибка, возникающая при различных из­мерениях (длины, объёма, массы и т.п.). Действительно, если измерительный прибор хорошо отрегулирован, то он не даёт существенных систематических ошибок (иначе его следовало бы отрегулировать). Получаемые же при каждом измерении ошибки складываются из влияния множества факторов, устра­нить которые практически невозможно. Они зависят от изме­нений температуры, давления, влажности и т.п. Иногда ошиб­ки складываются, усиливая друг друга, а иногда – компенсируя одна другую.

Для вычислений вероятности попадания случайной величи­ны в заданный промежуток возможных значений используется приведённая функция плотности вероятности и приведённая функция распределения – функция распределения для так на­зываемой нормированной случайной величины с m = 0 и s = 1.

Нормированная случайная величина получится, если сделать замену x 1 = (хm)/ s.

, F *(х) .

Функции f (x) и Ф* (х) табулированы.

Функция Ф* (х) обла­дает следующими свойствами:

Ф* (0) = 0,5, Ф* (х) = 1 – Ф* (– х).

При вычислениях связанных с нормальным законом часто используют интеграл Лапласа, который также табулирован:

F (х) ;

при этом следует иметь ввиду, что Ф* (х) = Ф (х) + 0,5.

Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и s, то:

P (a £ x < b) = Ф* Ф* = Ф Ф . (1)

Задача 30. При изготовлении бумаги наблюдается откло­нение её плотности от номинала, равного 100 г на квад­ратный метр. Найти ве­роятность того, что плотность бумаги будет отличаться от номинала не более, чем на 2 г, и не менее, чем на 3 г, если считать, что плотность бумаги есть нормально распределённая величина с s = 5 г.

Решение.

Используем формулу (1):

Р (97 < х < 102) = Ф* Ф* = Ф* (0,4) – Ф* (–0,6) = 0,6554 – 0,2743 = 0,3811.·

 

На практике удобно использовать правило«три сигма», ко­торое гласит: с вероятностью, большей, чем 0,997, случайная величина, распределённая по нормальному закону, будет при­нимать значения в промежутке (mx – 3 sx, mx + 3 sx).

Задача 31. Имеется партия изделий, в которой могут попа­даться качественные и бракованные. Число бракованных изделий – нормально распределённая случайная величи­на, характеризующаяся так: среднее число бракованных изделий (математическое ожидание) составляет 12 % и среднеквадратическое отклонение – 3 %. Отобрано 100 изделий. Какое число бракованных изделий окажется среди них?

Решение.

Должно быть понятным, что точно ответить на такой вопрос в принципе невозможно.

Однако, используя пра­вило «три сигма», легко найти следующий ответ: можно быть практически уверенным, что бракованных деталей будет не менее 12 – 3 × 3 = 3 и не более 12 + 3 × 3 = 21.

Формально это мож­но записать так Р (3< х <22) ³ 0,997.·

 

КРАТКИЙ КУРС


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)