|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
КРАТКИЙ КУРСВ рамках теории вероятностей на основании обобщения знаний о случайных явлениях в природе и человеческом обществе построен ряд моделей распределения вероятностей, которые в некоторых ситуациях удовлетворительно описывают исследуемые закономерности. Для каждой модели (закона распределения) установлены и условия её применимости. Если при рассмотрении некоторого явления исследователь считает, что имеющие место условия совпадают с условиями применимости того или иного закона, то можно воспользоваться соответствующим законом распределения. Биномиальное распределение. Пусть реализуется схема опытов Бернулли: проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с постоянной вероятностью р. Число появлений события А в этих n опытах есть дискретная случайная величина X, возможные значения которой: 0; 1; 2; …; m; …; n. Законом распределения этой случайной величины является формула, определяющая вероятность того, что в конкретной серии из n опытов событие А появляется ровно m раз. Такая вероятность, а, следовательно, закон распределения, задается формулой Бернулли, или биномиальным законом распределения: Р(Х = m) = Рm,n = Сnm × pm ×(1 – p) n-m. Числовые характеристики случайной величины X, распределенной по биномиальному закону: mx = n × p, Dx = n × p ×(1 – p), sx = .
Задача 24. Какова вероятность того, что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза? Решение. Здесь n = 10, m = 2, р = 1/6, q = 1 – р = 5/6. Искомая вероятность: Р 2,10 = С 102×(1/6)2×(5/6)8» 0,29.· Задача 25. Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты орёл выпадет ровно 5 раз. Решение. Здесь вероятность выпадения орла при одиночном испытании р =1/2; отсюда q = 1 – p = 1/2. По формуле Бернулли получаем: Р 5,10 = С 105×(1/2)5×(1/2)5 .· Задача 26. Автомобиль, подъезжая к перекрёстку, может продолжить движение по любой из трёх дорог: А, В или С – с одинаковой вероятностью. К перекрёстку подъезжают пять автомобилей. Найти среднее число автомашин, которое поедет по дороге А, и вероятность того, что по дороге В поедет три автомобиля. Решение. Число автомашин, проезжающих по каждой из дорог, является случайной величиной. Если предположить, что все подъезжающие к перекрёстку автомобили совершают поездку независимо друг от друга, то эта случайная величина распределена по биномиальному закону с n = 5 и р = 1/3. Следовательно, среднее число автомашин, которое проследует по дороге А, есть m = 5/3, а искомая вероятность: Р(Х =3 ) = С 53×(1/3)3×(2/3)2» 0,165.· Распределение Пуассона. Пусть событие А может появиться в любой момент времени. При этом выполнены следующие условия: 1) события происходят независимо друг от друга; 2) появление события А на данном отрезке времени не зависит от расположения временного отрезка на оси времени; 3) вероятность появления события А за бесконечно малый интервал времени Dt более одного раза есть бесконечно малая величина по сравнению с Dt (в этой связи закон Пуассона называют законом редких событий). Число появлений события А за выбранный промежуток времени t подчиняется закону Пуассона: P(X = m) = , где l – среднее число событий А, появляющихся за единицу времени. Этот закон однопараметрический, т.е. для его задания требуется знать только один параметр l. Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия в законе Пуассона численно равны: mx = Dx = l. Задача 27. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными? Решение. 1) Здесь вероятность р = 0,01 мала, а число n = 100 велико, причём m = n × р = 100 × 0,01 = 1. 2) Используя закон Пуассона для искомой вероятности, получаем следующее значение: P 2,100 .·
Одним из классических примеров применения закона Пуассона является описание числа запросов на соединение, поступающих на телефонную станцию. Задача 28. Пусть в середине рабочего дня среднее число запросов равняется 2 в секунду. Какова вероятность того, что 1) за секунду не поступит ни одной заявки, 2) за две секунды поступит 10 заявок? Решение. Поскольку правомерность применения закона Пуассона не вызывает сомнения и его параметр задан (l = 2), то решение задачи сводится к прямому применению формулы Пуассона. 1) t = l, m = 0: P(Х =0 ) 0,135. 2) t = 2, m = 10: P(Х =10 ) 0,005.·
Закон равномерной плотности. Пусть непрерывная случайная величина Х может принимать любые значения лишь на отрезке [ а, b ] и нет оснований считать, что появление одних возможных значений вероятней других. При выполнении этих условий говорят, что случайная величина Х распределена с равномерной плотностью. В этой связи целесообразно считать, что плотность вероятности f(x) имеет вид: . График такой функции представлен на рис. 3.
Рис. 3. График равномерной плотности распределения
Поскольку площадь, ограниченная любой кривой распределения, равна1,легко найти значение константы с из равенства с × (b – а) = 1, с = 1/(b – a). Теперь можно сказать, что случайная величина Х распределена на отрезке [ а, b ] равномерно, если: . Основные числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины: , , . Задача 29. Минутная стрелка часов делает скачок на соседнее деление, когда реальное время превышает указываемое значение на полминуты. При взгляде на часы фиксируется показываемое ими время. Какова средняя ошибка в показаниях таких часов и каков разброс этой ошибки? Решение. В каждый момент времени показания часов есть случайная величина, показывающая реальное время с некоторой ошибкой. Взгляд на часы производится в случайно выбранный момент, поэтому целесообразно предположить, что ошибка в показаниях часов имеет равномерную плотность распределения. Т.к. рассогласование между реальным временем и показаниями часов находится в пределах от –0,5 до +0,5, то следует положить а = –0,5, b = +0,5. Следовательно: . Это означает, что систематическая ошибка отсутствует и .· Нормальный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если её плотность вероятности описывается функцией: , где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение. Соответственно, функция распределения равна: . График плотности вероятности для нормального закона приведен на рис. 2. Нормальный закон возникает в тех случаях, когда случайная величина Х есть сумма большого числа случайных величин, распределенных по произвольному закону, но каждая из них не является доминирующей. Наиболее ярким примером является ошибка, возникающая при различных измерениях (длины, объёма, массы и т.п.). Действительно, если измерительный прибор хорошо отрегулирован, то он не даёт существенных систематических ошибок (иначе его следовало бы отрегулировать). Получаемые же при каждом измерении ошибки складываются из влияния множества факторов, устранить которые практически невозможно. Они зависят от изменений температуры, давления, влажности и т.п. Иногда ошибки складываются, усиливая друг друга, а иногда – компенсируя одна другую. Для вычислений вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток возможных значений используется приведённая функция плотности вероятности и приведённая функция распределения – функция распределения для так называемой нормированной случайной величины с m = 0 и s = 1. Нормированная случайная величина получится, если сделать замену x 1 = (х – m)/ s. , F *(х) . Функции f (x) и Ф* (х) табулированы. Функция Ф* (х) обладает следующими свойствами: Ф* (0) = 0,5, Ф* (х) = 1 – Ф* (– х). При вычислениях связанных с нормальным законом часто используют интеграл Лапласа, который также табулирован: F (х) ; при этом следует иметь ввиду, что Ф* (х) = Ф (х) + 0,5. Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и s, то: P (a £ x < b) = Ф* – Ф* = Ф – Ф . (1) Задача 30. При изготовлении бумаги наблюдается отклонение её плотности от номинала, равного 100 г на квадратный метр. Найти вероятность того, что плотность бумаги будет отличаться от номинала не более, чем на 2 г, и не менее, чем на 3 г, если считать, что плотность бумаги есть нормально распределённая величина с s = 5 г. Решение. Используем формулу (1): Р (97 < х < 102) = Ф* – Ф* = Ф* (0,4) – Ф* (–0,6) = 0,6554 – 0,2743 = 0,3811.·
На практике удобно использовать правило«три сигма», которое гласит: с вероятностью, большей, чем 0,997, случайная величина, распределённая по нормальному закону, будет принимать значения в промежутке (mx – 3 sx, mx + 3 sx). Задача 31. Имеется партия изделий, в которой могут попадаться качественные и бракованные. Число бракованных изделий – нормально распределённая случайная величина, характеризующаяся так: среднее число бракованных изделий (математическое ожидание) составляет 12 % и среднеквадратическое отклонение – 3 %. Отобрано 100 изделий. Какое число бракованных изделий окажется среди них? Решение. Должно быть понятным, что точно ответить на такой вопрос в принципе невозможно. Однако, используя правило «три сигма», легко найти следующий ответ: можно быть практически уверенным, что бракованных деталей будет не менее 12 – 3 × 3 = 3 и не более 12 + 3 × 3 = 21. Формально это можно записать так Р (3< х <22) ³ 0,997.·
КРАТКИЙ КУРС Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |