Лекція 1

Тема: "Метричні простори. Загальні означення.Нерівності Мінковського і Гельдера".

Дисципліна: "Функціональний аналіз"

Викладач Гусарова І. Г.

Харків,2014

Вступ. Функціональний аналіз(ФА), частина сучасної математики, головним завданням якої є вивчення безконечномірних просторів і їх відображень. Найбільш вивчені лінійні простори і лінійні відображення. Для ФА характерне поєднання методів класичного аналізу, топології і алгебри. Абстрагуючись від конкретних ситуацій, удається виділити аксіоми і на їх основі побудувати теорії, що включають класичні завдання як окремий випадок і що дають можливість вирішувати нові завдання. Сам процес абстрагування має самостійне значення, прояснюючи ситуацію, відкидаючи зайве і відкриваючи несподівані зв'язки. В результаті удається глибше проникнути в суть математичних понять і прокласти нові дороги дослідження.

Розвиток ФА відбувався паралельно з розвитком сучасної теоретичної фізики, при цьому з'ясувалося, що мова ФА найадекватніше відображає закономірності квантової механіки, квантової теорії поля і т.п. У свою чергу ці фізичні теорії зробили істотний вплив на проблематику і методи ФА.

Виникнення функціонального аналізу. ФА як самостійний розділ математики склався на рубежі 19 і 20 вв.(століття) Велику роль у формуванні загальних понять ФА зіграла створена Р. Кантором теорія безлічі. Розвиток цієї теорії, а також аксіоматичній геометрії привело до виникнення в роботах М. Фреше і Ф. Хаусдорфа метричною і загальнішою т.з. теоретико-множинній топології, що вивчає абстрактні простори, тобто безліч довільних елементів, для яких встановлено тим або іншим способом поняття близькості.

Серед абстрактних просторів для математичного аналізу і ФА виявилися важливими функціональні простори (тобто простори, елементами яких є функції — звідки і назва «ФА»). У роботах Д. Гильберта по поглибленню теорії інтегральних рівнянь виникли простори l ₂ і L ₂ (а, b) (див. нижче). Узагальнюючи ці простори, Ф. Рис вивчив простори l _p і L _p (а, b), а С. Банах в 1922 виділив повні лінійні нормовані простори (банахови простори). У 1930—40-х рр. в роботах Т. Карлеману, Ф. Рису, американських математиків М. Стоуна і Дж. Неймана була побудована абстрактна теорія самосопряжених операторів в Гільбертовому просторі.

В СРСР перші дослідження по ФА з'явилися в 30-х гг., це роботи: А. Н. Колмогорова (1934) по теорії лінійних топологічних просторів; Н. Н. Боголюбова (1936) по інваріантних заходах в динамічних системах; Л. С. Канторовіча (1937) і його учнів по теорії напіввпорядкованих просторів, вживанням ФА до обчислювальної математики і др.; М. Г. Крейна і його учнів (1938) по поглибленому вивченню геометрії Банахових просторів, опуклої безлічі і конусів в них, теорії операторів і зв'язків з різними проблемами класичного математичного аналізу і др.; І. М. Гельфанда і його учнів (1940) по теорії нормованих кілець (Банахової алгебри) і ін.

Для сучасного етапу розвитку ФА характерне посилення зв'язків з теоретичною фізикою, а також з різними розділами класичного аналізу і алгебри, наприклад теорією функцій багатьох комплексних змінних, теорією диференціальних рівнянь з частинними похідними і т.п.

Поиск по сайту: