Метричні простори

Означення: Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини (простору) елементів (точок) та відстані, тобто однозначної, невід’ємної, дійсної функції , що визначена для будь-яких та з і задовольняє наступним трьом аксіомам:

1) тоді і тільки тоді, коли , ,

2) (аксіома симетрії): , ,

3) (аксіома трикутника): , .

Ці аксіоми називаються аксіомами метрики.

Сам метричний простір, тобто пару , будемо позначати, як правило, однією буквою:

.

У випадках, коли непорозуміння виключені, будемо позначати метричний простір тим же символом, що і множину точок .

Наведемо приклади метричних просторів:

1. Покладемо для елементів довільної множини

Таким чином, отримаємо метричний простір, який можна назвати простором ізольованих точок або дискретним простором.

2. Множина дійсних чисел з відстанню

утворює метричний простір .

3. Множина впорядкованих груп з дійсних чисел

з відстанню, що задається наступною формулою:

(1)

називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .

Перевіримо виконання аксіом метрики.

Аксіома 1): Нехай

.

Аксіома 2): .

Покажемо, що в виконується і аксіома трикутника.

Нехай , та . Тоді аксіома трикутника запишеться у вигляді:

. (2)

Нехай , , одержимо , і нерівність приймає вигляд

. (3)

Ця нерівність є наслідком нерівності Коші—Буняковського:

. (4)

Дійсно, в силу цієї нерівності маємо

;

Таким чином нерівність (3), а звідси і (2), доведені.

Нерівність Коші—Буняковського випливає з тотожності

,

яка безпосередньо перевіряється.

4. Розглянемо ту ж саму множину впорядкованих наборів з дійсних чисел , але відстань в них визначимо формулою

. (5)

Справедливість аксіом 1)-3) очевидна. Позначимо цей метричний простір символом .

5. Розглянемо ту ж саму множину, що і в прикладах 3. та 4., і визначимо відстань між його елементами як

. (6)

Справедливість аксіом 1)-3) очевидна. Позначимо цей метричний простір символом .

Останні три приклади показують, що іноді важливо мати різні позначення для самого метричного простору та для множини його елементів, так як одна і та ж множина точок може бути по-різному метризована.

6. Множина всіх неперервних функцій, що задані на сегменті з відстанню

(7)

також утворює метричний простір. Аксіоми 1)-3) перевіряються безпосередньо. Цей простір грає дуже важливу роль в аналізі. Будемо позначати простір тим же символом , що і множину його точок. Замість зазвичай пишеться просто .

7. Позначимо через метричний простір, точками якого служать всілякі послідовності

дійсних чисел, які задовольняють умові

,

а відстань задається формулою

. (8)

З елементарної нерівності

слідує, що функція має зміст для усіх , тобто ряд збігається, якщо

та .

Покажемо, що функція відстані (8) задовольняє аксіомам метричного простору. Аксіоми 1) та 2) очевидні, а аксіома трикутника набуває вигляду

. (9)

В силу сказаного вище кожен з трьох написаних рядів збіжний, крім того, при будь-якому справедлива нерівність

(див. приклад 3). Перейшовши до границі при , отримуємо нерівність трикутника (9) в .

8. Розглянемо простір функцій, неперервних на сегменті , що інтегруються з квадратом:

.

Відстань визначимо наступним чином:

. (10)

Такий метричний простір позначимо і назвемо простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Аксіоми 1) та 2) тут очевидні, а аксіома трикутника безпосередньо випливає з нерівності Коші—Буняковского

.

9. Розглянемо множину всіх обмежених послідовностей дійсних чисел, тобто таких, що

.

Візьмемо

. (11)

Отримаємо метричний простір, який позначимо через . Справедливість аксіом 1)-3) очевидна.

10. Множина впорядкованих груп з дійсних чисел з відстанню

, (12)

де - будь-яке фіксоване число , представляє собою метричний простір, який позначимо як . Покладемо

, ,

тоді нерівність

,

справедливість якої маємо встановити, прийме вигляд

. (13)

Це – нерівність Мінковського. При нерівність очевидна (модуль суми не більше за суму модулів), тому вважаємо .

Якщо доведемо нерівність Мінковського, то буде виконана аксіома трикутника у просторі .

Розглянута в цьому прикладі метрика перетворюється у евклідову метрику (приклад 3) при і в метрику приклада 4 при . Можна показати, що метрика , яка розглянута у прикладі 5, є граничним випадком метрики , а саме

.

11. Вкажемо ще один цікавий приклад метричного простору. Його елементами є всілякі послідовності чисел

,

такі, що

,

де - деяке фіксоване число, а відстань визначається формулою

. (14)

Цей метричний простір позначимо .

В силу нерівності Мінковського маємо при будь-якому

.

Так як, за припущенням, ряди

та

збігаються, то, здійснивши перехід до границі при , отримаємо

(15)

Таким чином, доведено, що формула (14), яка визначає відстань в , дійсно має зміст для будь-яких . Одночасно нерівність (15) показує, що в виконана аксіома трикутника. Інші аксіоми очевидні.

2 Нерівність Гельдера