ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

ДСВ Х распределена по закону Пуассона в двух случаях:

1. Проводятся повторные независимые испытания по схеме Бернулли при этом, число испытаний n велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, ДСВ Х- число появлений событий в этих испытаниях. Вероятность того, что ДСВ Х примет одно из возможных значений Х=k, k=0,1,2,... вычисляется по формуле Пуассона:

Р_n( k) , λ=np.

λ – параметр распределения Пуассона.

Матаматическое ожидание и дисперсия ДСВ Х, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра λ, то есть

М(Х)=D(X)=λ.

2. Рассмотрим простейший поток событий, интенсивность которого λ₀. ДСВ Х- число наблюдаемых событий за период времени t.

Вероятность того, что ДСВ Х примет одно из возможных значений Х=k, k=0,1,2,... вычисляется по формуле Пуассона:

Р_t( k) , λ=λ₀t.

λ – параметр распределения Пуассона.

Матаматическое ожидание и дисперсия ДСВ Х, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра λ, то есть

М(Х)=D(X)=λ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Проводятся независимые испытания по схеме Бернулли, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р, вероятность его непоявления равна q (p+q=1).

Испытания проводятся до первого появления события А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предыдущих k-1 испытаниях оно не появлялось.

ДСВ Х-число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Возможными значениями ДСВ Х являются натуральные числа:

1,2,3,... Вероятность того, что ДСВ Х примет одно из возможных значений Х=k, k=0,1,2,... вычисляется по формуле, которая и задает геометрическое распределение:

P(X=k) = p*q^k-1, k=1,2,3,...

р - параметр геометрического распределения.

Математическое ожидание геометрического распределения: М(Х) = ,

дисперсия:

D(X) = .

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть имеется множество N элементов, из которых М элементов обладают признаком А. Случайным образом, без возвращения извлекают n элементов.

ДСВ Х- число элементов с признаком А среди n отобранных. Возможные значения этой случайной величины: 0,1,2,..., min(M,n).

Вероятность того, что среди n отобранных элементов ровно m с признаком А вычисляется по формуле, которая и задает гипергеометрический закон распределения:

Р(Х=m) = .

N, M, n- параметры гипергеометрического закона.

Математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

M(X)= np, D(X)= npq ,

Где p= вероятность того, что первый случайно отобранный элемент обладает признаком А;

q=1-p.