НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется переменная Х, которая принимает все значения из некоторого интервала возможных значений, таких значений бесконечно много.

Функцией распределения вероятностей СВ называется функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее некоторого действительного числа х.

F(x)= P(X< x)

Некоторые свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат интервалу , то есть 0

2. Функция распределения- неубывающая, то есть

при х₂>x₁ F(x₂) F(x₁).

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a<X<b) = F(b)- F(a).

Следствие: вероятность того,что НСВ примет одно определенное значение равна 0.

4. Если всевозможные значения случайной величины принадлежат конечному интервалу , то при х а

F(x)=0, при х >b F(x)=1.

В общем случае: =0, =1.

5. Если случайная величина Х непрерывная, то и функция распределения непрерывная.

Плотностью распределения вероятностей НСВ называется функция f(x), равная пределу отношения вероятности того, что НСВ Х примет значение из малого интервала (х; х+ Δ х), к длине малого интервала Δ х, когда Δ х 0, то есть

f(x)= =

Таким образом, функция плотности f(x) есть первая производная от функции распределения F(x).

Числовые характеристики непрерывных случайных

величин.

Содержательный смысл математического ожидания и дисперсии для НСВ точно такой же, как и для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание для НСВ Х с плотностью f(x) вычисляется по формуле:

М(X) = .

Дисперсия непрерывной случайной величины:

D(X) = M = M(X²) – ²,

D(X) = ² f(x) d x или

D(X) = - ².

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

σ(Х) = .

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

НСВ Х равномерно распределена на отрезке (a< b), если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.

Плотность вероятности: f(x) =

Параметром равномерного распределения является длина интервала (b-a), на котором лежат всевозможные значения случайной величины.

Функция распределения: F(x) =

Вероятность того, что равномерно распределенная НСВ Х принимает значение из интервала (α, β):

Р(α<X<β) = .

Математическое ожидание: М(Х)=

Дисперсия: D(X) = .

Показательное распределение.

НСВ Х показательно распределена с параметром >0, если ее функция плотности f(x) и функция распределения F(x) вероятности таковы:

Плотность вероятности: f (x) =

Функция распределения: F(x) =

Математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ.

М(Х) = 1/λ.

Дисперсия показательного распределения равно

D(X) = 1/λ².

Среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно математическому ожиданию:

σ(Х) = М(Х) = 1/λ.

Показательное распределение, как и распределение Пуассона, широко применяется в теории надежности и в теории массового обслуживания.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальным называется распределение вероятностей НСВ Х, которое описывается плотностью:

f(x) = e^-

a, σ - параметры нормального распределения.

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ.

Вероятность того, что нормально распределенная НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β):

Р(α<X<β) = Ф() – Ф().

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ:

Р(| X-a| <δ) = 2Ф(δ/σ).

Правило трех сигм: если НСВ Х распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Р(| X-a| < 3δ) = 2Ф(3)= 0,9973.

Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.

Для количественной оценки различий изучаемых распределений от нормальных вводят специальные характеристики, в частности асимметрия и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю.

Асимметрией теоретического распределения называют характеристику, которая определяется формулой:

А = μ_3, где μ₃= М[(X- M(X))³].

А >0, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания;

А<0, если «длинная часть» кривой распределения расположена слева от математического ожидания.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством:

Е = ; где μ₄= М[(X- M(X))⁴].

Е>0, кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая;

Е<0, кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

В узком смысле под «законом больших чисел» понимается ряд математических теорем, которые утверждают приближение средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам. В широком смысле, этот закон утверждает, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Кроме того, закон больших чисел является теоретическим обоснованием пригодности выборочного метода обследования, на котором основаны практически все методы математической статистики. Идея заключается в том, что чем больше проведено наблюдений, тем точнее полученные усредненные результаты будут отражать истинные характеристики изучаемого явления.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0, вероятность того, что СВ Х отклонится от своего математического ожидания больше чем на ε, ограничена сверху величиной D(X)/ε².

P (|X- M(X)|>ε) ≤ , или в другой форме

P (|X- M(X)| ≤ε) >1-

В силу своей общности неравенство Чебышева малопригодно для практических надобностей- оно дает слишком грубую оценку, но может применяться для установления верхней границы по первой форме и нижней границы по второй форме вероятности рассматриваемого события.

Теорема Чебышева. Пусть Х случайная величина с математическим ожиданием a и дисперсией d. Будем проводить серии из n независимых испытаний и вычислять среднее арифметическое m_n значений, принятых СВ Х в таких сериях. Тогда для любого ε>0 среднее арифметическое как угодно мало отличается (с вероятностью близкой к 1) от математического ожидания a:

P(|m_n- a|>ε)→0 при n→∞

Сущность теоремы Чебышева: если проводить серии из n опытов, то от серии к серии величина среднего арифметического m_n будет меняться, то есть она является случайной и может не совпадать с математическим ожиданием. Но с увеличением длины серий испытаний вероятность больших отклонений среднего арифметического СВ Х от математического ожидания стремится к нулю.

То есть если мы хотим быть более уверенными в том, что среднее арифметическое приближенно равно математическому ожиданию, нужно увеличить число испытаний.

Теорема Бернулли. Если вероятность появления события А в каждом из независимых повторных испытаний постоянна и равна р, а число испытаний достаточно велико (n→∞), то как угодно близка к 1 вероятность того, что относительная частота W(A) появления события будет сколь угодно мало отличаться от величины вероятности р:

Р(| W(A)- p|<ε) →1 при n→∞

Поиск по сайту: