ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется переменная Х, принимающая только строго определенные возможные значения x_1,x_2,... x_n... с некоторыми вероятностями p_1,p_2,... p_n,...

Множество возможных значений ДСВ счетно, то есть все возможные значения можно занумеровать натуральными числами.

Поведение ДСВ описывается ее законом распределения, который представляет собой соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями:

p_i = P (X=x_i); i=1,2,..., n,...

p_i - это вероятность случайного события, состоящего в том что ДСВ Х примет конкретное значение x_i.

Поскольку в одном испытании ДСВ Х принимает только одно возможное значение, то события Х=х₁, Х=х₂,..., Х= x_n образуют полную группу попарно несовместных событий и сумма их вероятностей равна единице:

р₁+ р₂+...+ p_n=1.

Если множество возможных значений ДСВ Х бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна 1:

р₁+ р₂+...+ p_n+...=1.

Закон распределения ДСВ Х может быть представлен:

а) в виде таблицы

где х₁< х₂<... < х_n,

р₁+ р₂+...+ p_n=1, n<25

б) в виде графика-«многоугольник распределения»;

в) аналитически, то есть в виде математической формулы.

Числовые характеристики ДСВ.

1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М(Х)=х₁ р₁+х₂ р₂+...+х_n р_n= .

Математическое ожидание М(Х) есть величина постоянная и неслучайная, которая приближенно

равна (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению реального показателя.

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

М(С)=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ)= СМ(Х).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин ровно сумме математических ожиданий:

M(X₁+X₂+... +X_m)= M(X₁)+M(X₂)+... +M(X_m).

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (Х₁Х₂...Х_m)= M(X₁)*M(X₂)*... *M(X_m).

Дисперсия дискретной случайной величины.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: Х- М(Х).

Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием:

D(X)=M .

Формула дисперсии ДСВ в развернутом виде:

D(X)= .

При вычислении дисперсии удобно использовать формулу, которая выводится из определения дисперсии на основании свойств математического ожидания:

D(X)= M(X²)- ²

Основные свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(Х)=0.

2. постоянный множитель можно выносить за

знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX)= C²*D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X+Y) = D(X) +D(Y),

D(X-Y) = D(X) +D(Y), в частности,

D(X+C) = D(X).

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии

σ(Х) = .

БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Биномиальным называется закон распределения

ДСВ Х- числа появлений событий в n независимых испытаниях Бернулли, в каждом из которых вероятность наступления события равна р, вероятность ненаступления события равна q (p+q=1); вероятность

того, что ДСВ Х примет одно из возможных значений

(Х=k), k=0,1,2,...,n в этом случае вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(k) = C_n^kp^kq^n-k

Параметры биномиального распределения: n, p.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону:

M(X)= n*p; D(X)=n*p*q.

Поиск по сайту: