ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

(2-й семестр)

ЗАДАЧА 1. Оценить интеграл .

Теорема об оценке интеграла. Если для интегрируемой на [ a,b ] функции y=f(x) справедлива на этом отрезке оценка m £ f(x) £ M, то для определенного интеграла справедлива оценка

.

Таким образом, для нахождения оценки интеграла следует произвести оценку функции, т.е. найти числа т и М. Для этого

а) Находим критические точки подынтегральной функции командой

> solve(diff(f(x),x),x);

и выбираем из них те точки, которые лежат на отрезке [ a,b ].

б) Вычисляем значения функции в этих выбранных точках и на концах отрезка при помощи команды подстановки

> subs(x=a,f(x));

в) Выбираем из всех этих значений наименьшее m и наибольшее М

г) Пишем оценку для интеграла .

д) Иллюстрируем геометрический смысл этого двойного неравенства. Для этого командой > plot({m,M,f(x)},x=a..b); строим три линии и указываем штриховкой три площади, соответствующие двойному неравенству пункта г).

е) Вычисляем численное значение интеграла ДВУМЯ командами

>Int(f(x),x=a..b);

>evalf(%);

и проверяем справедливость оценки (т.е. двойного неравенства) из пункта г).

ЗАДАЧА 2. Площадь области, ограниченной кривыми у= , у=х², у=х²/8.

а) Строим кривые

> plot({sqrt(x),x^2,x^2/8},x=0..5,y=0..3,color=black);

б) Определяем точки пересечения кривых, приравнивая функции. Затем задаем верхнюю и нижнюю границы нашей области командами

> y2:=x->piecewise(x<1,x^2,sqrt(x)); y1:=x->x^2/8;

После этого находим площадь области по формуле

в) Вычисляем длину периметра области, используя формулу , а также команды >Int() и >evalf().

г) Изображаем тело вращения при помощи пакета MAPLE.

Пусть на плоскости задана кривая y=f(x), xÎ [ a, b ], и пусть эта кривая вращается вокруг оси Х.

Тогда получающаяся при этом поверхность изображается командой

>plot3d([f(x)*cos(t),x,f(x)*sin(t)],x=a..b,t=0..2*Pi);

Переменную х и координату t (угол поворота кривой вокруг оси Х) можно обозначать любыми буквами. В нашей задаче вращаются две кривые, y1(x) и y2(x). Поэтому команда будет иметь вид:

>plot3d({[y2(x)*cos(t),x,y2(x)*sin(t)],[y1(x)*cos(t),x,

y1(x)*sin(t)]},x=0..4,t=Pi/2..2*Pi);

Примечание. Здесь объем получился в разрезе, т.к. угол поворота t меняется от p/2 до 2 p (три четверти оборота). Для получения полного объема он должен меняться от 0 до 2p, но тогда картинка будет менее наглядной.

Объем тела вращения вычисляется затем при помощи MAPLE по формуле

ЗАДАЧА 3. Объем усеченной призмы.

А) Построение призмы и её поперечного сечения плоскостью x=t.

В MAPLE точка М пространства задается так M:=[a,b,c];

Примечание. Наименования D, I, О запрещены. Можно употреблять d, i, o.

Пусть дана плоскость

> z:=32.8-3*x+0.8*y;

Зададим точки для построения рёбер призмы и её сечения

> o:=[0,0,0]:A:=[1,0,0]:A1:=[2,0,0]:A2:=[3,0,0]:B:=[1,1,0]:
B1:=[2,2,0]:B2:=[3,3,0]:C:=[1,2,0]:C1:=[2,4,0]:C2:=[3,6,0]:P:=[1,1,subs(x=1,y=1,z)]:P1:=[2,2,subs(x=2,y=2,z)]:
P2:=[3,3,subs(x=3,y=3,z)]:Q:=[1,2,subs(x=1,y=2,z)]:
Q1:=[2,4,subs(x=2,y=4,z)]:Q2:=[3,6,subs(x=3,y=6,z)]:

Строим ребра и грани призмы командой (буквы команды и опций заглавные!)

>PLOT3D(POLYGONS([o,A2],[o,B2],[o,C2],[A,C],[A1,C1],
[A2,C2],[B,P],[B2,P2],[C,Q],[C2,Q2],[B1,P1,Q1,C1],
[P,P2,Q2,Q]),THICKNESS(2));

После получения рисунка нужно щелкнуть по нему правой мышью, в появив­шемся окне выбрать color ® Z(Grayscale) чтобы рисунок был черно-белым. Так его удобнее печатать (не у каждого есть цветной принтер).

Затем щелкнуть по рисунку левой мышью и ввести систему координат (третья строчка меню, третья кнопка с красным пятном, считая слева).

В) Нахождение площади S(t) поперечного сечения.

ВНИМАНИЕ!!!

Точки (2,0,0) и (3,0,0) на чертеже это, конечно же, точки (t,0,0) и (2,0,0) (исправить чертеж). Точке (t,0,0) соответствует сечение тела, имеющее форму трапеции (она стоит «боком»). Нарисовать на ней обозначение S(t). Высота этой трапеции равна t, а длины оснований можно вычислить, если в уравнение плоскости подставить (команда subs) ко­ординаты точек (t, t) и (t, 2t). Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту.

С) Вычисление объема призмы с использованием MAPLE по формуле

V = .

ЗАДАЧА 4 делается ВРУЧНУЮ с использованием формулы для длины дуги

. Дополнительно следует по этой же формуле численно подсчитать на MAPLE длину периметра области из ЗАДАЧИ 2.

ЗАДАЧА 5. Метод трапеций. Пусть требуется вычислить с шагом (в домашней работе п=10). Определяем точки деления отрезка [ a,b ]:

x_n = a+nh, n=0,1,2,…,10

Строим график функции y=f(x) на отрезке [ a,b ], проводим вертикальные прямые через точки деления и изображаем трапеции, сумму площадей которых мы будем вычислять.

В точках деления вычисляем значения функции f(x), т.е. величины y(n)=f(x_n):

> x:=n->a+h*n;

> y:=n->evalf(subs(x=x(n),f(x)));

Выводим эти десятичные значения на экран командой

> y(n)$n=0..10;

Далее вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеций («шаг на сумму всех y(n), при этом y(0) и y(10) берутся с коэффициентом ½»)

» h*(sum(y(n),n=1..9)+1/2*(y(0)+y(10)));

Вычисляем затем для контроля точное значение интеграла ДВУМЯ командами

> Int(f(x),x=a..b);

>evalf(%);

Дальше следует объяснить, почему точное значение больше приближенного.

Вторая часть ЗАДАЧИ 5 – замена переменной в определенном интеграле. Проделаем её на примере интеграла .

Произведём в интеграле замену переменной, обозначив подынтегральную функцию через t. Эта замена производится командами

>restart; снятие всех присвоений

> with(student): подгрузка специальной программы

>changevar(sqrt((2*x+3)/(x-1))=t,

Int(sqrt((2*x+3)/(x-1)),x=2..6),t);

> simplify(%);

В результате получим интеграл

Подынтегральную функцию представляем в виде суммы простейших дробей

.

Находим коэффициенты A, B, C, D (метод нахождения коэффициентов изложен ниже в задаче 6). Затем ВРУЧНУЮ производим интегрирование полученных простейших дробей и подстановку новых пределов интегрирования.

ЗАДАЧА 6. Интегрирование рациональной дроби.

Пусть требуется вычислить интеграл

а) У данной подынтегральной дроби следует разложить знаменатель на неразложимые со­множители (в нашем примере он уже разложен) и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типов с неопределенными коэффициентами

Умножим это равенство на знаменатель. Получим

(&)

В это равенство подставляем вместо х пять произвольных значений, например х=0, x=1, x=2, x=3, x=4. Получаем систему пяти уравнений для пяти неизвестных {A, B, C, P, Q}. Решаем эту систему командой solve({система},{неизвестные}). Получаем в нашем случае A=6, B= –9, C=7, P=3, Q= –1.

После этого все интегралы от простейших дробей (включая дробь третьего типа) следует вычислять ВРУЧНУЮ.

Примечание. В MAPLE имеется команда преобразования рациональной дроби R(x) в сумму простейших дробей

> convert(R(x),parfrac,x);

Но эту команду разрешается использовать ТОЛЬКО для проверки.

ДЛЯ ОСОБО ОДАРЕННЫХ. Найдутся такие орлы, которые будут поставлять произвольные числа в равенство (&) вручную и записывать результат на бумажке. Вместо этого следует равенство (&) обозначить буквой S и воспользоваться командой подстановки >subs(x=число, S), а результаты подстановки, т.е уравнения для коэффициентов, следует также обозначать как а1, a2, a3, a4, a5.

Поиск по сайту: