НА НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

(2 семестр)

1. Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными (преподавателям – о стационарном решении даже не упоминать!)

.

а) Заменяем y’ на dy/dx. Получаем .

б) Разделяем переменные (игреки – налево, иксы – направо) по правилу: «множители переносятся наискосок». Получаем .

в) Интегрируем полученное равенство. Получаем ответ

.

Примечание. В этом примере используется правило линейной подстановки:

Если , то . Множитель называется поправкой интегрирования.

2. Во втором примере применяют метод подведения под знак дифференциала. Используется одна из формул:

xdx=(1/2)d(x²), e^xdx=d(e^x), (1/x)dx=d(lnx), sinxdx= – d(cosx), cosxdx=d(sinx).

Пример. .

3. В 3-м примере производят замену переменной по правилу: а) При наличии квадратного трехчлена ax²+bx+c делают замену x=t–b/(2a), б) При наличии корня из линейной функции этот корень принимают за t и находят x(t).

Далее по функции x(t) находим dx=x’(t)dt и всё это подставляем в подынтегральное выражение. Проинтегрировав полученное выражение, следует сделать обратную замену, т.е. вернуться к старой переменной х.

Пример.

4. В 4-м примере следует произвести интегрирование по частям. Для этого подынтегральное выражение разбиваем на два множителя u и dv. При помощи дифференцирования находим du, а при помощи интегрирования находим v. Затем применяем формулу . Указание. За и принимаем множитель при Sin(..), Cos(..), e^(..). При наличии lnx за и принимаем этот логарифм.

5. В последнем примере нужно проинтегрировать рациональную дробь. Если эта дробь неправильная, то при помощи деления «уголком» её превращают в сумму: многочлена и правильной дроби (). Для интегрирования правильной дроби с простыми корнями в знаменателе следует разложить знаменатель на линейные множители и найти асимптотики правильной дроби в особых точках (метод «затыкания» и подстановки). Правильная дробь будет равна сумме этих асимптотик. Интеграл от каждой из асимптотик – это натуральный логарифм.

Поиск по сайту: