Общее замечание о подгрузках пакетов. Можно не подгружать пакет, а обойтись одной составной командой. В данном случае эта команда будет иметь вид

>student[changevar](x=x(t), Int(f(x), x), t);

5) Замена переменной в определенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t), Int(f(x), x=a..b), t);

>Int(sqrt(x), x=2..5)= changevar(sqrt(x)=t, Int(sqrt(x), x=2..5), t);

6) Интегрирование по частям. >with(student):

>intparts(Int(f(x), x), u(x)); задается интеграл и и(х).

>intparts(Int(x*exp(x), x), x);

> Int(x*exp(x), x)=intparts(Int(x*exp(x), x), exp(x));

7) Идея формул прямоугольников (результат выполнения команды – рисунок). >with(student): >leftbox(f(x), x=a..b, n, color=black); >rightbox(f(x), x=a..b, n, color=red);

>middlebox(f(x), x=a..b, n, color=green);

Соответствующие этим картинкам ступенчатые площади вычисляются командами

>leftsum(f(x), x=a..b, n); >rightsum(f(x), x=a..b, n); >middlesum(f(x), x=a..b, n);

Ответ дается в точном виде. Далее следует применить команду >evalf(%);

8) Формула трапеций >with(student): >trapezoid(f(x), x=a..b, n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(%);

9) Формула Симпсона >with(student): >simpson(f(x), x=a..b, 2n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(%);

10) Двойные интегралы >with(student):

>Doubleint(f(x,y), y = m(x)..n(x), x = a..b);

>value(%);

11) Замена переменных в двойном интеграле >with(student):

>changevar({x=x(u,v), y=y(u,v)}, Doubleint(f(x,y), x,y), [u,v]);

>changevar({x=u*cos(v), y=u*sin(v)}, Doubleint(x*y, x,y), [u,v]);

13) Тройные интегралы >with(student):

>Tripleint(f(x,y,z), z=z₁(x,y)..z₂(x,y), y=y₁(x)..y₂(x), x=a..b);

>value(%);

Замена переменных в тройном интеграле – аналогично замене в двойном интеграле.

14) Криволинейные интегралы 1-го рода >with(student):

>Lineint(f(x,y,z), x=x(t), y=y(t), z=z(t), t = a..b);

>value(%);

Пример. Вычислить интеграл

>Lineint((3*x+sqrt(y))/sqrt(4+9*x), x=t^2, y=t^3, t =0..2);

>value(%);

15) Криволинейные интегралы 2-го рода (вычисляются без подгрузки “student”).

Интеграл по дуге АВ: x=x(t), y=y(t), tÎ [a, b] вычисляется так:

>w: = P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy; задание подынтегрального выражения

>x: = x(t); y: = y(t); dx:=diff(x,t); dy:=diff(y,t); задание дуги АВ и дифференциалов

>int(w, t=a..b); вычисление криволинейного интеграла.

16) Кривая и касательная к ней (рисунок) >with(student):

>showtangent(f(x), x=a);

Изображается кривая на отрезке [–10, 10] (если она там умещается) и касательная к ней в точке с координатой х = а.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ

Подгрузка >readlib(extrema):

1) Команда >extrema(f(x), {}, x, ‘s’); s; дает для функции y=f(x) минимальное и максимальное значения и точки, в которых эти значения достигаются.

>extrema(x^3–3*x, {}, x, ‘s’); s; { –2, 2} {{x=1}, {x= –1}}

2) Условный экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0

>extrema(f(x,y),{g(x,y)},{x,y},’s’); s;

В ответе получаем наибольшее и наименьшее значения функции и точки, в которых эти значе­ния достигаются.

>extrema(x+y,{x^2+y^2=2},{x,y},’s’); s; {–2, 2} {{x= –1,y= –1},{x=1,y=1}}.

Здесь Z_min= –2, Z_max= 2, критические точки (–1, –1) и (1, 1)

3) Безусловный экстремум функции z=f(x,y) разыскивается командой

>extrema(f(x,y),{},{x,y},’s’); s;

Вычисляются наибольшее и наименьшее значения функции и все критические точки.

>extrema(x^3+y^3–3*(x+y), {}, {x,y},’s’); s;

{–4, 4} {{x=1,y=1},{x= –1,y=1},{x=1,y= –1},{x= –1,y= –1}}

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

>maximize(f(x)); – наибольшее значение функции f(x) в области определения.

>maximize(f(x), x=a..b); – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b].

Опция location позволяет узнать не только наибольшее значение функции, но и точку, в которой это значение достигается.

Аналогичным образом действует команда >minimize(…);

Эти команды можно применять также для функции многих переменных, но область в этом случае должна быть прямоугольной типа [a, b]´[m, n], т.е. x=a..b, y=m..n.

ТФКП

Мнимая единица обозначается через I, комплексное число – через a+b*I

Арифметика такая же, как и для действительных чисел

>(2+3*I) ± (5 – 7*I); >(2+3*I)*(1+I); >(1–I)/(5+6*I);

>z:=solve((1+2*I)/z=(3+4*I)/(5+6*I), z); z:=

Действительная часть >Re(a+b*I); a

Мнимая часть >Im(a+b*I); b

Сопряженное число >conjugate(a+b*I); a–b*I

Модуль >abs(3+4*I); 5

Аргумент >argument(–3 – 5*I); arctg(5/3) – p

Одновременное вычисление модуля и аргумента производится командой >polar();, которая подгружается командой >readlib(polar):

>polar(a+b*I); polar(mod(a+b*I), arg(a+b*I))

>polar(exp(1+4*I)); polar(e, 4–2p)

>polar(ln(I)); polar(p/2, p/2)

Вычисление значений функций

>exp(2+3*I); e^{2+3 I}

>evalc(%); e²cos3 + I e²sin3

>evalf(%); – 7.315110095 + 1.042743657×I

Аналогично вычисляются все прочие функции. При вычислении корней, логарифмов и степе­ней с комплексными показателями вычисляется главное значение.

Конформные отображения смотри в разделе «Графика на плоскости», стр.19.

Ряды Лорана в полюсе. Загрузить >with(numapprox, laurent):

>laurent(f(z), z = a, n); – ряд Лорана функции f(z) в полюсе(!) z = a, разложениедо n- го по­рядка. Если порядок не указан, то считается, что он равен константе >Order: = n. По умолча­нию эта константа равна 6.

>laurent(f(z), z, n); производится разложение в ряд Лорана в точке z = 0.

>laurent(1/sin(z)/(exp(z)–1),z);

>coeff(%, z^(–1)); –1/2 (этот коэффициент равен вычету функции в нуле)

Ряд Лорана в существенно особой точке. Загрузить >with(numapprox, laurent):

Если правильная часть ряда Лорана конечна(!), то разложение функции f(z) в сущест­венно особой точке z₀ = a производится двумя командами

>F: = f(z); z0: = a;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, n));

Пример. Разложить функцию в точке z₀ = 1.

>F:= z^2*exp(z/(z–1)); z0:= 1;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, 5));

Вычеты в полюсе.

>residue(f(z), z = a); Команда вычисляет вычет функции f(z) в полюсе z = a.

>residue(z/(z^4–1)^2, z=I); 1/8

>residue(1/(z^4+4)^2, z=1+I); –3/256 – I*3/256

>residue(1/(exp(z)–1), z=0); 1

>residue(1/(z–sin(z)), z=0); 3/10

>residue(1/(exp(z)–1–z), z=0); –2/3

Вычеты в существенно особой точке (при конечной правильной части ряда Лорана)

Загрузить >with(numapprox, laurent):

>F:= f(z); z0:= a; n:=6;

>res(F, z=z0):= coeff(laurent(subs(z=z0+1/t, F), t, n), t);

Операционное исчисление, >with(inttrans):

Преобразование Лапласа >laplace(f(t), t, p); изображение F(p)

Обратное преобразование Лапласа >invlaplace(F(p), p, t); оригинал f(t)

>laplace(exp(t)*sin(t), t, p);

>invlaplace(2*p/(p–1)^2/(p^2+1), p, t); t e^t – sin t

В качестве оригиналов можно брать Dirac(t), Heaviside(t–а), exp(at+b), sin(at+b), cos(at+b),

sinh(at+b), cosh(at+b), свёртку, производную, линейную комбинацию всех этих функций, а также их произведение.

>F:=Int(exp(t–z)*cos(z), z=0..t);

>laplace(F, t, p);

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений.

Решить операционным методом задачу Коши y”+y’– 2y=e^t, y(0)=2, y’(0)=3.

>diff(y(t),t,t)+diff(y(t),t)–2*y(t)=exp(t):

>laplace(%, t, p):

>subs(y(0)=2, D(y)(0)=3, %):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%, p, t);

Решение интегральных уравнений.

Пример 1. Решить интегральное уравнение .

>Int(cos(t–z)*y(z),z=0..t)=t^2*exp(t):

>laplace(%, t, p):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%, p, t); y(t)=2t²e^t + 2e^t – 2

Пример 2.

>y(t)=sin(t)+t*cos(t)+Int(sin(t–z)*y(z),z=0..t):

>laplace(%, t, p):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%, p, t); y(t)=2sin(t)

Интерполяционный полином

Построение интерполяционного полинома по таблице

>interp([x1, x2, x3, … xn],[y1, y2, y3, … yn], x); P_n–1(x)

>interp([1,2,3],[3,7,13], t); t² + t + 1

Списки A:= [1,2,3]; B:=[3,7,13]; можно задавать заранее. Тогда команда будет иметь вид

>interp(A,B,t);

ОПЕРАЦИЯ “ МАР”

Эта операция позволяет применить данное действие к каждому элементу списка (вектора) или множе­ства. Результат – список (вектор) или множество (элементы множества упорядочиваются).

Примеры.

>f:=x–>x^2; >map(f,[3,1,4]); ответ: [9,1,16] – результат неупорядочен

>f:=x–>x^2; >map(f,{3,1,4}); ответ: {1,9,16} – результат упорядочен

>map(diff,[sin(x), exp(2*x)],x); ответ: [cos(x), 2e^2x]

>map(int, [2*x, 3*x^2],x); ответ: [x², x³]

>map(limit,[2*x+7, 5*x], x=1); ответ: [9, 5] – результат неупорядочен

>map(laplace, [t, exp(t)],t,p); ответ: [1/p², 1/(p–1)] Здесь нужна подгрузка

>map(invlaplace,[1/p², 1/(p–1)],p,t); ответ: [t, exp(t)] with(inttrans):

>map(dsolve, [D(y)(x)=2*x,D(y)(x)=3*x^2], y(x)); ответ: [y(x)=x² +_C1, y(x)=x³ +_C1].

Поиск по сайту: