Интегральные суммы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12-2

Напомним, что определённым интегралом функции y = f (x) по промежутку [ a, b ] называется конечный предел интегральных сумм при стремящемся к нулю (а n ®¥). Предел берётся по всем разбиениям промежутка [ a, b ] на n отрезков длиной , а – произвольная точка, принадлежащая i -ому отрезку разбиения. Таким образом,

.

Геометрически определённый интеграл представляет площадь криволинейной трапеции под графиком положительной функции. Если на некотором отрезке функция отрицательна, то определённый интеграл по этому промежутку отрицателен.

В пакете student есть команда leftbox(), которая строит график функции и отображает интегральную сумму в виде последовательности прямоугольников для заданного разбиения промежутка интегрирования, причем точки, в которых вычисляются значения функции для интегральной суммы, соответствуют левым концам отрезков разбиения (её называют левой суммой в противоположность правой сумме, в которой значения функции берутся на правых концах отрезков разбиения интервала интегрирования):

> f:=x->-(x-2)*(x-3)*(x-4)+x^2*(x-3);

> with(student):

> leftbox(f(x),x=0..4,10);

Команда leftsum() вычисляет левую сумму для заданного разбиения, которая аппроксимирует определённый интеграл от заданной функции на заданном промежутке (4/10=2/5):

> leftsum(f(x),x=0..4,10);

> evalf(%);

Увеличивая число отрезков разбиения заданного промежутка, мы все точнее и точнее будем вычислять площадь криволинейной трапеции, а тем самым и определённый интеграл:

> boxes:=[seq(i^2,i=2..20)];

> seq(evalf(leftsum(f(x),x=0..4,n)), n=boxes);

24., 18.56790123, 17.25000000, 16.74240000, 16.49382715, 16.35318617,

16.26562500, 16.20728548, 16.16640000, 16.13660269, 16.11419753,

16.09691537, 16.08329863, 16.07237531, 16.06347656, 16.05612959,

16.04999238, 16.04481242, 16.04040000

> inttrue:=int(f(x),x=0..4);

inttrue=16

Мы видим, что последовательность левых сумм постепенно приближается к точному значению интеграла, которое равно точно 16.

Можно создать анимационную картинку изменения отображения левых сумм, добавив в качестве заголовка ее значение при соответствующем числе разбиений промежутка интегрирования:

> S:=seq(leftbox(f(x),x=0..4,n,

title=convert(evalf(leftsum(f(x),x=0..4,n)),string)),

n=boxes):

> with(plots):

> display(S,insequence=true);

Поиск по сайту: