АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
Примеры.
- Полуокружность выпукла на [–1; 1].
- Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞).
- График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π ], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2 π).
Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.
Теорема. Пусть y = f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.
Доказательство. Предположим для определенности, что f ''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.
|
| Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .
Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.
Таким образом,
.
К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
- Предположим, что x > x 0. Тогда x0 < c1 < c < x, следовательно, (x – x 0) > 0 и (c – x 0) > 0. Поэтому .
- Пусть x < x0, следовательно, x < c < c 1 < x 0 и (x – x 0) < 0, (c – x 0) < 0. Поэтому вновь .
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Примеры.
- Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x2.
Найдем y '' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y ' = –2 x, y '' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
- y = ex. Так как y '' = e x > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.
- y = x3. Так как y '' = 6 x, то y '' < 0 при x < 0 и y '' > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.
Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x 0) = 0 или f ''(x 0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.
Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.
Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.
Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.
-
Найдем производные заданной функции до второго порядка.
.
. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.
Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).
-
Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2 x2 – 1 = 0. Отсюда .
Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .
- y = ln (1 – x2). Область определения функции D(y) = (-1; 1).
.
при всех x из (–1; 1).
Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).
|
|
Поиск по сайту:
|