Степанов Михаил Евграфович

Доцент кафедры прикладной математики и информатики ЭФ МПУ

Паспорт III-ИК №532146 выдан Голицынским о/м отд. внутренних дел Одинцовского горисполкома

Московской обл. 26 мая 1976 г.

Адрес:

107207, г. Москва, ул. Байкальская, д. 27, кв. 220.

(466 - 31 - 36

Колодец Лотоса.

Задача о Колодце Лотоса рассматривалась в № 4 журнала “Математика в школе” за 1997 год сразу в двух статьях. Наиболее известным источником сведений, связанных с этой задачей, является рассказ писателя-фантаста А. П. Казанцева “Колодец Лотоса”.

Завязка рассказа такова. Археолог Детрие, проводящий раскопки храма бога Ра в древнеегипетском городе Гелиополисе, обнаруживает надпись, в которой излагается условие следующей задачи. В колодец (см. рисунок 1) погружены две тростинки длиной 2 и З меры. Вода доходит до точки их пересечения, которая находится выше дна колодца ровно на одну меру. Требуется определить диаметр колодца. Тот, кто сможет решить эту задачу, становится жрецом бога Ра. Но если его постигнет неудача, он погибнет, замурованный в камере возле Колодца Лотоса.

Рисунок 1

Чтобы разобраться в сути задачи, археолог вызывает из Парижа своего друга, профессионального математика, графа де Лайе. Тому удается с помощью достаточно сложных методов аналитической геометрии и алгебры составить уравнение четвертой степени с одним неизвестным. После этого по методу итальянского ученого 16-го века Феррари можно получить точное решение.

Вывод уравнения в рассказе неоправданно сложен. На самом деле достаточно использовать теорему Пифагора и следующую теорему о трапеции.

Теорема. Длина отрезка, концы которого лежат на боковых сторонах трапеции, а сам от параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей, равна среднему гармоническому длин оснований трапеции. Кроме того точка пересечения диагоналей делит данный отрезок пополам (см. рисунок 2).

Из комментария к рисунку 2 легко заключить, что МО = ON и MN = 2 × a × b: (a + b). А это и есть среднее гармоническое оснований. Обратившись к исходной задаче, мы увидим, что имеем дело с прямоугольной трапецией, для которой МО = 1. Ориентируясь на обозначения величин, приведенные на рисунке 1, мы можем записать два уравнения:

и

Используя тот факт, что а = и b = , получаем уравнение, которое понадобится нам в дальнейшем

(1).

Однако чаще идут другим путем: исключают сначала переменную d, получая уравнение b² - a² = 5, а затем и b, в результате чего приходят к уравнению четвертой степени с неизвестной а:

(2).

После достаточно сложных преобразований, в том числе и с комплексными числами, метод Феррари позволяет получить точное решение задачи:

, где .

С чисто математической точки зрения тема закрыта, однако интерес к этой задаче не ослабевает. Вопрос стоит так: как решали эту задачу древние египтяне? Таким образом, перед нами уже не математическая, а историко-математическая проблема. К сожалению в статьях, посвященных обсуждаемой задаче, обычно выводится уравнение (2) и приводится его приближенное решение, причем приближенный метод выбирается произвольно.

На самом деле нас не способно удовлетворить даже точное решение, поскольку оно заведомо не соответствует уровню знаний древних математиков. В еще большей мере это относится к приближенным решениям, получаемым методами, базирующимися на идеях математического анализа.

Задача о Колодце Лотоса подобно многим историческим задачам связана с культурой великих древних цивилизаций, исчезнувших, но продолжающих влиять на нас. По этой причине ее решение должно соответствовать духу древней математики. Кроме того драматизм условия заставляет каждого невольно примерить задачу к своим способностям. Недаром археолог Детрие после нескольких дней безуспешных размышлений пришел к выводу, что ему так и пришлось бы остаться возле колодца навсегда. Неужели все, кто жил раньше Феррари и Ньютона, были обречены?

Следует помнить, что применяя к исторической задаче метод, разработанный намного позднее, чем возникла сама проблема, мы обезличиваем ее. Связь времен рвется, и вместо непередаваемого аромата древнего Египта перед нами едва ли не типовая задача для студента-математика.

В этом отношении следует отдать должное А. П. Казанцеву. До начала своей писательской карьеры он был инженером, и поэтому не был профаном в области математики. Его рассказ интересен тем, что кроме формулировки задачи и романтической истории о царице Хатшепсут и зодчем Сененмуте, в нем предложен один из вариантов решения задачи, доступный кандидатам на звание жреца. Этот метод состоит в непосредственном измерении диаметра Колодца Лотоса с помощью тростинок. После довольно замысловатых манипуляций, использующих мокрые части тростинок Сененмуту удается получить приближенное значение диаметра колодца d равное .

На самом деле измерением, причем очень простым, можно получить и более точное значение, равное . Дело в том, что отрезок, длина которого равна d - 1, укладывается на тростинке длины 3 почти точно 13 раз.

Однако непосредственное измерение уже существующего колодца не объясняет, каким образом его диаметр был вычислен “проектировщиками”. Что измеряли они? Для проектирования нужен метод, содержащий зачатки теоретического рассуждения. К тому же есть вариант иной формулировки задачи, при котором колодец недоступен для будущего жреца.

Конечно, мы никогда не сможем достоверно узнать, как решалась задача о Колодце Лотоса на самом деле. Но определенные “теоретические” способы ее разрешения нам вполне доступны, а поскольку перед нами стоит проблема, связанная с историей математики, мы должны сформулировать предположения о допустимых способах ее решения.

Первое из наших предположений состоит в следующем. Наука древнего мира ориентировалась не на теоретическое решение той или иной задачи, а прежде всего на получение практического результата. Такой подход можно условно назвать инженерным. Одним из его вариантов является принятие без особых обоснований более или менее правдоподобной гипотезы, значительно облегчающей вычисления. После получения приближенного результата его можно проверить дополнительными вычислениями на этот раз без гипотетических предположений. Подобным способом можно оценить точность результата. Если он не является достаточно точным, то можно его уточнить, используя новые “инженерные” допущения.

Для уточнения решений мы воспользуемся преобразованиями, напоминающими выделение полного квадрата, и будем решать квадратные уравнения. Это наше второе допущение, которое мы обоснуем ссылкой на мнение известного историка математики М. Я. Выготского, считавшего, что египетская математика имела уровень, не уступающий вавилонской математике. Вот, что он пишет в своей книге “Арифметика и алгебра в древнем мире”.

“В самом деле, из какого источника возникли квадратные уравнения вавилонской математики? Несомненно, из геометрических задач, в свою очередь отражавших прямо или косвенно потребности практики. Какие это были потребности? Вавилонские источники отвечают на этот вопрос с полной определенностью; в них мы находим задачи на расчет фундамента здания, плотин, осадных насыпей и т. п. Мы видели, что и терминология геометрических задач свидетельствует об их происхождении (так, полоса треугольника именуется “каналом”). Но ведь строительная техника египтян стояла не на более низком уровне, чем вавилонская; плотины египтяне должны были делать не хуже, чем вавилоняне; устройство каналов приняло у них грандиозные размеры, архитектура же была поистине изумительна. При этих условиях отмеченное нами сходство становится вполне понятным, и естественно ожидать, что оно шло и значительно дальше. Мы не имеем прямых данных о том, что египтяне решали полные квадратные уравнения. Но предположение об этом представляется нам весьма вероятным.”

Каким же был уровень вавилонской математики? Снова сошлемся на Выготского: “Оказалось, что ученики древне-вавилонских школ умели решать задачи, требующие применения “теоремы Пифагора” в общем ее виде, по меньшей мере за 1000 лет до Пифагора и что решение полного квадратного уравнения не представляло для них никакой трудности.” И далее: “В частности, стало совершенно несомненным, что вавилонская математическая культура имела под собой прочную теоретическую базу и еще за 2000 лет до нашей эры вышла из периода эмпирического накопления знаний.”

Основой нашего метода станет приближенный способ извлечения квадратных корней, известный с древнейших времен. При этом использовалась формула

(3),

основанная на том, что и член мал.

Приступим к решению задачи и получим приближенное значение d₀ диаметра колодца. Вспомнив, что b² - a² = 5, сделаем “инженерное” предположение: среднее гармоническое чисел a и b приближенно равно их среднему арифметическому. Мы делаем это предположение без обоснований, так сказать, на глазок. (Лучший результат дала бы замена среднего гармонического на среднее геометрическое).

Практически мы считаем, что длина отрезка МО на рисунке 2 равна половине средней линии трапеции. В результате предположения мы получаем систему двух уравнений, которая решается исключением одной из переменных без всякого труда:

a + b = 4

b² - a² = 5

В итоге: а = , а b = . Легко вычислить, что диаметр d₀ в этом случае приблизительно равен 1,45, а высота воды в колодце при таком диаметре - около 0,9.

Покажем, как его можно уточнить с помощью уравнения (1) и приема, основанного на формуле (3). Обозначим через d₁ уточненное решение уравнения (1) и положим, что d₁ = d₀ - s. Тогда (опущен член, содержащий s²). Аналогично . (Отметим, что мы использовали формулу (3) не для арифметических, а для алгебраических преобразований. Основанием для этого служит наличие теоретической базы в вавилонской, а, значит, с большой вероятностью, и в египетской математике). Теперь уравнение (1) можно переписать в виде:

(4).

Это квадратное уравнение относительно s. Его положительный корень выражается формулой

(5).

Подставив в нее значения а = , b = и d₀ = 1,45, а также используя то, что a+b =4 и b² - a² = 5, получим, что s»0,19, а d₁ » 1,26. По данному значению диаметра можно вычислить соответствующие ему значения величин a₁ и b₁, после чего формулу (5) можно использовать для второго уточнения значения диаметра d и величин a и b. Таким образом, мы пришли к итерационному процессу, идея которого понятна любому, в том числе и древнему, вычислителю: при вычислениях отбрасываются высокие степени небольших чисел в виду их малости.

Для наглядности приведем таблицу первых четырех итераций, проведенных на компьютере с помощью формулы (5).

Отметим, что описанный нами способ получения приближенных решений может использоваться для решения задач школьного типа, приводящих к уравнениям выше второй степени. Приведем пример.

Задача. Три члена арифметической прогрессии с разностью 1 при перемножении дают число 10. Найти эти члены.

Пусть средний член раве н х, тогда (х-1)×х×(х+1)=10. Таким образом мы получаем кубическое уравнение х³-х-10=0. Легко установить, что один из его корней лежит на отрезке [2;3]. В качестве первого приближения взять середину этого отрезка: х₀ = 2,5. Пусть х₁= х₀ - s, тогда

(2,5-s)³-(2,5-s)-10 = 2,5³-3×2,5 s+3×2,5 s² -s³ -2,5+2,5 s-10=0.

Отбрасываем s³ и после ряда преобразований получаем квадратное уравнение 60 s² - 130 s + 25 = 0. Оно дает следующие результаты: s = 0,2133 и х₁ = 2,28. Повторное использование того же приема дает приближение х₂ = 2,307. Для него произведение 1,307 × 2,307 × 3,307 приблизительно равно 9,97.

Рассмотрение задачи о Колодце Лотоса будет неполным, если не коснуться еще одной темы. Для египетской культуры характерно единство религиозных, эстетических и научных представлений. Основная цель египтян, состоящая в достижении бессмертия души, заставляла их с единых позиций смотреть на мир своих богов, строение вселенной, и конструкцию храмов. Вечная красота во всех случаях достигалась единством законов, чаще всего выражающихся в виде математических пропорций. По свидетельству древних авторов основы своего учения, в котором центральное место занимала теория пропорций, Пифагор заимствовал именно у египтян.

Приведем мнение специалиста по эстетике Древнего Египта Н. А. Померанцевой. “При анализе композиций памятников древнеегипетского искусства было обнаружено, что все они построены геометрично. Это было подтверждено эмпирическим путем. Современные архитекторы, художники, занимаясь обмерами целого ряда памятников, установили, что практически любая древнеегипетская композиция укладывается в строго математическую схему, причем геометрические фигуры, в которые вписывается каждый из элементов композиции, не выходили за пределы простейших - треугольник, квадрат, окружность и проч. Гармоническая целостность древнеегипетского искусства исходит из “алгебры гармонии”, где конструктивное и художественно-эстетическое мышление составляли нерасторжимое единство.”

Итак, мы можем допустить, что египтян привлекали геометрические конфигураций, отличающиеся максимальной простотой и характеризующиеся отношениями небольших целых чисел. Иными словами для египтянина естественно было искать решение встающих перед ним математических задач в виде дробей с малыми знаменателями.

Если рассматривать дробные числа со знаменателями не более 5, то неплохое приближение диаметра колодца дают дроби и . (Отметим, что обе эти дроби хорошо соответствуют духу египетской математики, где было принято записывать произвольную дробь в виде суммы дробей с числителями равными 1: , ).

d - диаметр	a	b	a×b:(a+b) - высота воды
	1,56	2,73	0,99
	1,4	2,75	1,01

Мы получили два приблизительных решения (d = 1,25 и d=1,2), дающих хорошие практические результаты. Первое из них несколько точнее, но с точки зрения красоты числовых соотношений предпочтение следует отдать второму значению. Для колодца, у которого d = , величина а в точности равна , и поэтому диагональ длины 2 отсекает от трапеции египетский треугольник (с точностью до подобия)! Величина b с высокой точностью равна , то есть дроби с небольшим знаменателем. И наконец, особенно важно то, что равная 1,2 величина диаметра, является половиной среднего гармонического длины диагоналей трапеции, действительно, 2 × 3: 5 = 1,2. Таким образом, среди числовых соотношений характерных для Колодца Лотоса присутствуют два гармонических соотношения, указывающих на гармоничное построение колодца. Можно предположить, что Колодец Лотоса представлялся египтянам уникальным математическим объектом именно из-за наличия, пусть и приближенных, но красивых числовых соотношений.

Если за исходные величины взять не диагонали и высоту воды в колодце, а параметры трапеции d = 1,2; a = 1,6 и b =2,75, то длина диагоналей l₂ и l₃ будет удовлетворять условиям

l₂² = 1,2 ² + 1,6 ² = 4 и l₃² = 1,2 ² + 2,75 ² = 9 + 1/400.

В результате мы приходим к системе двух неопределенных уравнений a² + d² = 4 и b² + d² = 9 + 1/400. Таким образом, решение d = 1,2 подводит нас к еще одному варианту нахождения приближенного значения диаметра - использованию методов Диофанта. Однако эта тема требует отдельного разговора.

Кратко коснемся упомянутого выше приближенного решения d = . Числа 8 и 13 являются последовательными членами ряда чисел Фибоначчи. Их отношение дает хорошее приближение золотого сечения j» 0,618. Нам открывается еще одна особенность Колодца Лотоса - его диаметр приближенно равен удвоенному числу j. Таким образом числовые соотношения колодца можно рассматривать и с этой точки зрения.

Поиск по сайту: