СИНТАКСИС, ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И КОМАНДЫ СИСТЕМЫ MAPLE

Практические работы

С системой аналитических вычислений Maple

.

Практическая работа № 1.

СИНТАКСИС, ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И КОМАНДЫ СИСТЕМЫ MAPLE

Цели работы:

· знать основные объекты и переменные системы Maple;

· знать и уметь применять команды, используемые при работе с

объектами и переменными системы Maple;

· знать синтаксис основных математических функций системы Maple.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

1.Введение.

Система аналитических вычислений Maple – интерактивная система. В данном случае это означает, что пользователь вводит команду или оператор языка Maple в области ввода рабочего листа и, нажав клавишу <Enter>, сразу же передает ее аналитическому анализатору системы, который выполняет ее. При правильном введении команды в области вывода появляется результат выполнения этой команды, если команда содержит синтаксические ошибки или ошибки выполнения, система печатает сообщение об этом. Если ошибку надо исправить, то следует вернуться к оператору, откорректировать его и снова выполнить. Выполнив введенную команду, система ожидает очередной команды от пользователя. Можно вернуться в любой момент к любой команде или оператору на рабочем листе, подкорректировать его и снова выполнить. Однако, если на рабочем листе есть команда, использующая результат вновь вычисленной, то ее следует также снова вычислить, ус­тановив на нее курсор, и, нажав клавишу <Enter>, а если таких команд много, то можно выполнить команду графического интерфейса Edit ® Execute ® Worksheet для повторного вычисления всех команд рабочего листа.

Каждый оператор или команда обязательно завершаются разделитель­ным знаком. Таких знаков в системе Maple два — точка с запятой (;) и двоеточие (:). Если предложение завершается точкой с запятой, то оно вы­числяется, а в области вывода отображается результат. При использовании двоеточия в качестве разделителя команда выполняется, но результаты ее работы не отображаются в области вывода рабочего листа. Это удобно, на­пример, при программировании в Maple, когда нет необходимости в выводе каких-то промежуточных результатов, получаемых из операторов цикла, так как вывод этих результатов может занять много места на рабочем листе, да и может потребоваться значительное количество времени на их отображение.

Здесь и далее для команд Maple используется запись в форме синтакси­са языка Maple. Если при выполнении примеров возникает желание ото­бражать команды в математической нотации, то следует командой Options ® Input Display ® Standard Math Notation установить соответствующий режим отображения.

В Maple реализован свой язык, с помощью которого происходит обще­ние пользователя с системой. Базовыми понятиями являются объекты и переменные, из которых с помощью допустимых математических операций составляются выражения.

Простейшими объектами, с которыми может работать Maple, являются числа, константы и строки.

2. Числа.

Числа в системе Maple могут быть следующих типов: целые, обыкновенные дроби, радикалы, числа с плавающей точкой и комплексные. Первые три типа чисел позволяют выполнять точные вычисления (без округлений) разнообразных математических выражений, реализуя точную арифметику. Числа с плавающей точкой являются приближенными, в которых число значащих цифр ограничено. Эти числа служат для приближения (или аппроксимации) точных чисел Maple. Комплексные числа могут быть как точными, если действительная и мнимая части представлены точными числами, так и приближенными, если при задании действительной и мнимой частей комплексного числа используются числа с плавающей точкой.

Целые числа задаются в виде последовательности цифр от 0 до 9. Отрицательные числа задаются со знаком минус (–) перед числом, нули перед первой ненулевой цифрой являются не значащими и не влияют на величину целого числа. Система Maple может работать с целыми числами произвольной величины, количество цифр практически ограничено числом 2²⁸. Вычисления с целыми числами реализуют четыре арифметических действия (сложение +, вычитание –, умножение *, деление /) и вычисление факториала (!):

Пример 1. Операции с целыми числами.

> 55+6;

> 10-15;

> 7*7;

> 40/5;

> 80!;

> length(%);

Как видно из примера, Maple представляет большое целое число, которое не помещается в строке области вывода используя символ обратного слэша (\) в качестве символа продолжения вывода на следующей строке. Последняя команда вычисляет количество цифр в результате предыдущего вычисления. В ней в качестве параметра используется операция %, которая является всего лишь удобной формой ссылки на результат выполнения предыдущей операции. В Maple имеются еще две подобные операции, которые идентифицируют результаты предпредыдущей и предпредпредыдущей команд.Их синтаксис выглядит, соответственно, следующим образом:

% % и % % %.

В Maple имеется достаточно большой набор команд, позволяющих выполнить действия, специфичные при обработке целых чисел: разложение на простые множители (ifactor), вычисление частного (iquo) и остатка (irem) при выполнении операции целого деления, нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (igcd), выполнение проверки, является ли целое число простым (isprime) и многое другое. Примеры использования перечисленных команд приводятся ниже:

Пример 2. Команды для работы с целыми числами.

> ifactor(36);

> iquo(53,7);

> irem(53,7);

> 7*%%+%;

> igcd(192,90);

> isprime(5678213445);

В этом примере для проверки вычисления частного и остатка двух целых чисел использованы операции получения результата выполнения предыду­щей (вычисление частного) и предпредыдущей (вычисление остатка) команд. Результатом команды isprime () является булева константа true (истина) или false (ложь).

Набрав в области ввода рабочего листа команду?integer, можно получить список всех команд для работы с целыми числами

Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления двух целых чисел. Заметим, что Maple автоматически производит операцию сокращения дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнять все основные арифметические операции.

Пример 3. Задание обыкновенных дробей и выполнение действий над ними.

> 32/12;

> 10/16+8/14;

> 2+18/10;

> 8+16/4;

Если при задании дроби ее знаменатель сокращается (см. последнее вычисле­ние в примере), то такая "дробь" трактуется системой Maple как целое число.

Часто представление результата в виде обыкновенной дроби не совсем удобно, и возникает задача преобразования ее в десятичную дробь. Для этого используется команда evalf(), которая аппроксимирует обыкновенную дробь числами с плавающей точкой, используя десять значащих цифр в мантиссе их представления. Если точность по умолчанию не достаточна, то ее можно задать вторым параметром указанной функции.

Пример 4. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную дробь.

> evalf(654/987);

> evalf(654/987,50);

Дробь и ее десятичное представление не являются идентичными объектами Maple. Десятичное представление всего лишь аппроксимация точной величины, представленной обыкновенной дробью.

Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или дробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt(), или вычисления корня n -ой степени с помощью функции surd (число, n). Операция возведения в степень задается символом ^ или последовательно­стью из двух звездочек (**). При возведении в степень дробей их следует заключать в круглые скобки, как, впрочем, и дробный показатель степени. При задании радикалов также производятся возможные упрощения, связан­ные с вынесением из-под знака радикала максимально возможной величины.

Пример 5. Задание радикалов.

> (6/8)^(4/6);

> sqrt(34/3);

> surd(34/3,4);

Вычисления с целыми, дробями и радикалами являются абсолютно точны­ми, поскольку при работе с этими типами данных программа Maple не произ­водит никаких округлений в отличие от чисел с плавающей точкой.

Числа с плавающей точкой задаются в виде целой и дробной частей, разделенных десятичной точкой, с предшествующим знаком числа, на­пример, 3.4567, -3.415. Числа с плавающей точкой можно задавать, используя так называемую экспоненциальную форму записи, в которой сразу же после вещественного числа с плавающей точкой или обычного целого, называе­мого мантиссой, ставится символ е или е, после которого задается целое число со знаком (показатель степени). Такая форма записи означает, что мантиссу следует умножить на десять в степени числа, соответствующего показателю степени, чтобы получить значение числа, записанного в такой экспоненциальной форме. Например, 2.345е4 соответствует числу 23450.0. Таким образом, можно представлять очень большие по абсолютному значе­нию числа (показатель степени положительное число) или очень маленькие (показатель степени отрицательное число).

Из чисел составляются математические выражения с помощью арифметических операций. Символы арифметических операций в Maple перечислены в табл.1.

Таблица 1. Арифметические операции

Последовательность выполнения арифметических операций соответствует стандартным правилам старшинства операций в математике: сначала производится возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце – сложение и вычитание. Все действия выполняются слева направо. Операция вычисления факториала имеет наибольший приоритет. Для изменения последовательности арифметических операций следует использовать круглые скобки.

Если все числа в выражении являются целыми, дробями или радикалами, то результат представляется также с использованием этих типов данных, но если в выражении присутствует число с плавающей точкой, то результатом вычисления такого “смешанного” выражения будет также число с плавающей точкой, если только в выражении не присутствует радикал. В этом случае радикал вычисляется точно, а коэффициент при нем вычисляется либо точно, либо в виде числа с плавающей точкой в зависимости от типа сомножителей.

Пример 6. Вычисление “смешанных” арифметических выражений.

> 3^6*0.1;

> 3^6*(1/10);

> 3e2+3/4+sqrt(5)+3/4*0.1+surd(6,3)*43/10;

Система аналитических вычислений Maple всегда пытается произвести вычисления с абсолютной точностью. Если это не получается, тогда подключается арифметика с вещественными числами.

Maple умеет работать и с комплексными числами. Для мнимой единицы в Maple используется константа I. Задание комплексного числа не отличается от его обычного задания в математике:

2/3+3*I;

Maple выполняет все арифметические действия над комплексными числами.

Пример 7. Арифметические операции с комплексными числами.

> (4/5+2*I)+(3+1/2*I);

> (4/5+2*I)*(3+1/2*I);

> (4/5+2*I)/(3+1/2*I);

> (4/5+2*I)/(3+1.0/2*I);

Взгляните на последнее выражение в примере 7. Если хотя бы одна из действительных или мнимых частей комплексного числа вычисляется в виде числа с плавающей точкой, то результат также представляется через эти числа.

Для выделения из комплексного числа действительной и мнимой части в Maple существуют две функции: Re () для действительной и Im() для мнимой части комплексного числа. Вычислить аргумент комплексного чис­ла можно с помощью функции argument (), а построить комплексно-сопряженное – функцией conjugate ():

> Re(4+7*I);

> conjugate(4+7*I);

> argument(%);

3. Константы.

Кроме чисел, задаваемых пользователем, в Maple содержится целый ряд предопределенных именованных констант — констант, к значению которых можно обращаться с помощью некоторого имени. Часть этих констант не может быть изменена, а часть можно изменять. Неизменяемые константы представлены в табл. 2.

Таблица 2. Неизменяемые константы

Константа	Значение
Catalan	Число, являющееся суммой ряда , приближенно равно 0.9159655942…
false	Значение “ложь” при работе с булевскими переменными
true	Значение “истина” при работе с булевскими переменными
FAIL	Используется в качестве третьего значения при вычислении функций трехзначной логики
gamma	Константа Эйлера
Pi	Число
I	Мнимая единица
infinity	Бесконечность ¥

Константы, значения которых могут быть переопределены, — это константы, задающие необходимые для работы программы параметры. Наиболее важным являются две константы, которые влияют на точность вычислений: Digits и Order. Константа Digits задает число значащих цифр для операций с числами с плавающей точкой.По умолчанию она имеет значение 10. Константа Order определяет количество членов в разложении функции в ряд Тейлора (по умолчанию установлена равной 6).

Пример 8. Изменение значения константы Digits.

> evalf(Pi);

> Digits:=50;

> evalf(Pi);

Посмотреть все константы, определенные в Maple, можно, выполнив команду?ininame. Кроме перечисляемых на странице Справки констант все переменные, имена которых начинаются с _Env, по умолчанию являются системными константами Maple.

4. Строки.

Cтрока – любой набор символов, заключенный в двойные кавычки, например, "Длинные строки в Maple". Каждый символ в строке представляет самого себя. Длина строки в Maple практически не ограничена и может достигать на 32-битных компьютерах длины в 268 435 439 символов.

При определении строк следует внимательно следить за ограничиваю­щими двойными кавычками и не задавать вместо них одинарные или обратные. Первые определяют режим отложенных вычислений для выраже­ния, а вторые задают символическое имя, которое можно использовать как переменную.

Если необходимо, чтобы в строке присутствовали двойные кавычки, то следует поместить в строку идущие подряд две двойные кавычки или скрыть их основное назначение с помощью символа обратной наклонной черты (\). При этом в области вывода и пара двойных кавычек, и двойные кавычки с предшествующей обратной наклонной чертой отображаются как пара сим­волов \". Однако интерпретатором Maple эта пара символов рассматривается как один символ двойных кавычек, в чем можно убедиться, выполнив коман­ду length (), подсчитывающую количество символов в строке:

> "ST\"RING""";

> length(%);

Если идут подряд две строки, разделенные символами-разделителями (пробел, табуляция или переход на новую строку), то эти две строки соеди­няются в одну, причем значение второй без пробела пристраивается в конец первой строки:

> "First line" "Second line";

Соединение строк можно осуществить обращением к функции cat ():

> cat("First line","Second line");

Строку можно представить как одномерный массив, поэтому можно использовать индекс для выделения подстроки из заданной строки:

> "adcdifg"[4..5];

> d:="adcdifg";

> d[3];

5. Переменные, неизвестные и выражения.

Одни лишь числовые выражения не позволяют использовать всю мощь аналитических вычислений Maple. Для освоения всех возможностей Maple необходимо знакомство с переменными и неизвестными величинами. В пере­менных можно хранить вычисленные значения функций и символьных выражений. Неизвестные величины представляют собой обычные математи­ческие неизвестные, когда мы решаем задачу на листке бумаги, и исполь­зуются для задания символьных выражений Maple.

Каждая переменная Maple имеет имя, представляющее последователь­ность латинских символов, начинающихся с буквы, причем строчные и про­писные буквы считаются различными. (Такие системы называются чувствительными к регистру.) Кроме букв в именах переменных могут использоваться также цифры и знак подчеркивания, однако первым символом в имени должна быть буква. Примеры различных имен:

MyName, myname, my_name

В именах переменных можно использовать и буквы национального алфавита, в частности русского. Однако необходимо заметить, что в матема­тике все-таки принято использовать латинский и греческий алфавиты.

В качестве имен запрещено использовать зарезервированные слова языка Maple:

Нельзя также использовать так называемые защищенные слова Maple, к которым, в частности, относятся имена неизменяемых констант. Попытка присвоить такому имени какое-либо значение приводит к ошибке:

> Catalan:=7;

Error, attempting to assign to `Catalan` which is protected

Ошибка, попытка присвоить значение защищенному символу `Catalan`

Узнать о защищенных именах можно, отобразив страницу Справки командой?protect. Можно задавать переменные с именами, содержащими пробелы, но для этого их следует заключать в обратные кавычки:

> `Name with space`:=978;

> `Name with space`;

Вообще, любое правильное имя также можно заключить в обратные кавычки и от этого ничего страшного не произойдет, так как основное действие обратных кавычек (семантика) заключается в создании символического имени (в Maple этот объект имеет тип symbol).

Выражение – это комбинация имен переменных, чисел и, возможно, других объектов Maple, соединенных знаками допустимых операций. Един­ственным предназначением выражения является его вычисление и получение некоего результата, который можно использовать в операторах языка Maple при дальнейших вычислениях.

Если в выражении используется переменная, которой не присвоено никакого числового или строкового значения, то такая переменная рас­сматривается системой Maple как некая неизвестная величина, а выражение, содержащее неизвестные, называется символьным выражением. Именно для работы с такими выражениями прежде всего и разрабатывался Maple:

> x^3+7*x+5;

> sqrt(exp(x*y^2));

Обратите внимание, Maple в области вывода действительно печатает неиз­вестные переменные как простые математические неизвестные, имена кото­рых соответствуют именам переменных.

Для работы с символьными выражениями существует огромное количество функций или команд. Основная деятельность пользователя Maple направлена на выполнение разнообразных преобразований с символьными выражениями.

Важной операцией в Maple, связанной с выражениями, является операция присваивания (:=). Она имеет следующий синтаксис:

переменная: = выражение;

Здесь в левой части задается имя переменной, а в правой части любое вы­ражение, которое может быть числовым, символьным или просто другой переменной. Смысл этого оператора в том, что переменной в левой части присваивается значение выражения, стоящего в правой части. В дальнейшем, если будет необходимо использовать выражение из левой части операции присваивания, то достаточно сослаться на имя переменной, указанное в правой части операции.

С помощью переменных можно хранить и обрабатывать разнообразные типы данных, с которыми работает Maple. Мы уже знаем такие типы данных, как целый (integer), дробь (fraction), числовой вещественный с плавающей точкой (float) и строка (string). Кроме этих типов данных существует еще большое множество типов, необходимых для выполнения аналитических преобразований: функция (function), индексные данные (indexed), множество (set), список (list), ряды (series), последовательность выражений (exprseq) и некоторые другие. Перечисление всех допустимых типов данных Maple представлено в справочной странице, отображаемой командой?type.

По умолчанию переменная Maple имеет тип symbol, представляющий символьную переменную, и ее значением является ее собственное имя. Поэтому простое объявление переменной m оператором m; приведет к отображению в области вывода рабочего листа имени этой переменной.

Пример 9. Задание и определение типа символьной переменной.

> m;

> whattype(m);

В примере 9 можно видеть функцию whattype (), которая определяет тип выражения или переменной, заданных в качестве ее параметра.

То, что переменная по умолчанию имеет символьный тип, оказывается очень полезным при использовании функций. В тех случаях когда имя функ­ции Maple задано не совсем правильно, или такой функции не существует, или не подключен пакет, где она расположена, то Maple в ответ на попытку вычислить эту функцию отобразит в области вывода не результат выполне­ния функции, а полностью повторенную строку области ввода.

При присвоении переменной какого-нибудь значения, ее тип изменяет­ся на тип присвоенного ей значения. Наряду с числами переменные можно использовать для составления выражений. Все, сказанное выше о числовых выражениях и порядке их вычисления, относится и к выражениям, содержащим переменные.

В математических выражениях обычно используются разнообразные математические функции. В Maple имеется большой набор стандартных математических функций, как элементарных, так и специальных. В табл. 3 показаны основные математические функции и соответствующий им синтаксис Maple.

Таблица 3. Основные математические функции

Функция	Синтаксис Maple		Функция	Синтаксис Maple
ex	exp(x)		sqrt(x)
ln(x)	ln(x) или log(x)		abs(x)
	log10(x)	sgn(x)	signum(x)
	log[a](x)	n!	n!

Тригонометрические и гиперболические функции указаны в табл. 4. Отметим несоответствие записи некоторых функций в русскоязычной математической литературе и в англоязычной, например функции тангенса угла. Значения параметров тригонометрических функций задаются в радианах.

Таблица 4 .Тригонометрические и гиперболические функции

Задание обратных тригонометрических и обратных гиперболических функ­ций представлено табл. 5.

Таблица 5 .Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Задание в Maple функций Бесселя, эллиптических интегралов, дельта-функции Дирака, функции Хевисайда и других специальных функций мож­но найти в справочной системе. Справку обо всех имеющихся в Maple функциях можно получить, выполнив команду?inifunction.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Разложить число на простые множители:

1.1. 6; 1.5. 16; 1.9. 26; 1.13. 38;

1.2. 8; 1.6. 18; 1.10. 29; 1.14. 42;

1.3. 12; 1.7. 21; 1.11. 32; 1.15 45;

1.4. 14; 1.8. 24; 1.12. 36; 1.16. 56;

2. Найти наибольший общий делитель двух чисел:

2.1. 64, 16; 2.5. 24, 40; 2.9. 27, 48; 2.13. 39, 52;

2.2. 48, 35; 2.6. 18, 30; 2.10. 30, 120; 2.14. 42, 56;

2.3. 125, 15; 2.7. 21, 35; 2.11. 33, 99; 2.15 45, 90;

2.4. 141, 14; 2.8. 24, 48; 2.12. 36, 60; 2.16. 96, 80;

3. Вычислить выражение, представив результат в виде числа с плавающей точкой:

3.1. 3.9.

3.2. 3.10.

3.3. 3.11.

3.4. 3.12.

3.5. 3.13.

3.6. 3.14.

3.7. 3.15.

3.8. 3.16.

Варианты заданий.

. 1.1; 2.1; 3.1; . 1.9; 2.9; 3.9;

. 1.2; 2.2; 3.2; . 1.10; 2.10; 3.10;

. 1.3; 2.3; 3.3; . 1.11; 2.11; 3.11;

. 1.4; 2.4; 3.4; . 1.12; 2.12; 3.12;

. 1.5; 2.5; 3.5; . 1.13; 2.13; 3.13;

. 1.6; 2.6; 3.6; . 1.14; 2.14; 3.14;

. 1.7; 2.7; 3.7; . 1.15; 2.15; 3.15;

. 1.8; 2.8; 3.8; . 1.16; 2.16; 3.16;

Контрольные вопросы.

1. Что является простейшими объектами, с которыми может работать Maple?

2. Как задаются целые числа?

3. Какое количество цифр в целом числе допускает Maple?

4. Как задаются дроби?

5. Что такое экспоненциальная форма записи числа с плавающей точкой?

6. Для чего нужны константы Digits и Order?

7. Как из строки выделить подстроку?

8. Какими способами можно осуществить соединение строк?

9. Что является первым символом в имени переменной?

10. Что представляет собой выражение в Maple?

11. Как задаются числа с плавающей точкой?

12. Как задаются радикалы?

13. Чем должны обязательно завершаться каждый оператор или команда в Maple?

14. Для чего нужна команда ifactor?

15. Для чего нужна команда iquo?

16. Для чего нужна команда irem?

17. Для чего нужна команда igcd?

18. С помощью какой функции вычисляется корень n -ой степени от какого-либо числа?

19. С помощью какой функции вычисляется квадратный корень от какого-либо числа?

20. Вычисления с какими числами являются абсолютно точными в программе Maple?

21. Какая команда аппроксимирует обыкновенную дробь числами с плавающей точкой?

22. Какие команды выделяют из комплексного числа действительную и мнимую части?

Поиск по сайту: