Теоретическое обоснование и расчётные зависимости

Несимметричная контактная задача при начальном контакте по линии является частным случаем плоской задачи при начальном контакте по полоске. Для этого частного случая и геометрические параметры справа и слева от точки касания разные, т.е. ;

На схеме (рис. 1) показаны случаи такой задачи.

Рис. 1 Рис.1а

Сжимающая сила направлена по линии центров дуг. Контур первого тела описывается функцией , а второго тела - ; Зазор при (справа и слева от точки - точки касания различны) .

Дано:

Сжимающая сила - ;

Радиусы кривизны в окрестности точки - , , , ;

Упругие постоянные первого и второго тела - , , , ;

Коэффициент трения скольжения - ;

Порядок выполнения:

При сжатии контактирующих тел образуется полоска размером . Ширина этой полоски несимметрична относительно начального касания точки . Середина полоски контакта точка при сжатии смещена от точки начального касания точки на величину (см. рис. 2).

Рис. 2

На рис. 2 следующие обозначения:

Точка - точка начального касания;

Точка - середина полоски контакта при сжатии шириной ;

В системе координат координата некоторой произвольной точки - , а координата элементарной силы равна .

В этой системе координат интегральное уравнение Штаермана:

(1); В выражении (1):

при - справа от точки ;

при - слева от точки ;

- геометрические параметры справа от точки касания. В соответствии с рис. 1.,

; (2)

- геометрические параметры справа от точки касания. В соответствии с рис. 1.,

; (2)

Знак в кривизне имеет место, если центр кривизны расположен внутри контактирующих тел, и определяется упругими постоянными материалами контактирующих тел.

; (2а)

;

Для того, что бы использовать решение Штаермана для симметричной задачи перейдем к системе координат , с началом координат на середине полоски контакта в точке ; Формулы перехода:

; ;

В новой системе координат интегральное уравнение будет иметь симметричные пределы интегрирования.

; (3)

Решение симметричной задачи получено Штаерманом в полярной системе координат с заменой на угол , координаты на угол , а координат на угол по выражениям ; ; ; (4).

После подстановки (4) в (3) и интегрированием получим (Алекс. стр. 27, Ромалис. стр. 294, Штаерман):

; (5)

где ; (6)

Угол выражается через ( отсчитывается от точки ):

или или ; (7)

В выражение (5-7) неизвестна половина ширины контакта а и угол , определяемой смещением ; Эти величины определяются из условия ограничения контактного давления в точках и конца зоны контакта. Из этих граничных условий:

При

получено два уравнения с неизвестными и :

; (8)

; (9)

Из формулы (8) получено:

; (10)

В этом уравнении известны и (формулы 2) и можно определить ; Совместное решение уравнений (8) и (9) даёт значение координаты полоски контакта:

; (11)

смещение ; (12)

Если , то смещение откладывается влево от точки начального касания точки ;

Если , то меняется в пределах ;

Если , то откладывается вправо от точки ;

При максимальное контактное давление будет расположено в зоне (см. рис.3);

При максимальное контактное давление будет расположено в зоне (см. рис.2);

Случай показан на рис. 3.

4. Порядок построения эпюры :

1) По формуле (2) определяем геометрические параметры и , по формуле (2а) определяем ( и ).

2) По формуле (10), решая геометрическое уравнение, находим угол (в формуле (10) определяется в радианах).

3) По формуле (11) определяется полуширина плоскости контакта , по формуле (12) определяется смещение .

4) Определяется сомножитель в формуле (5), независящий от .

5) Изменяя значение по формуле (7) определить .

6) По формуле (5) определить .

7) Для построения эпюры в зоне расположения надо уменьшить шаг аргумента .

Результаты расчёта, произведённого в программе ASIMP:

НЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ ПО ЛИНИИ

Исходные данные

R1(см)= 4.0 R2(см)= 4.0 R3(см)= 6.0 R4(см)= 8.0

P0(кН/см)=.40E+02 E1(кН/см*см)=.20E+05 E2(кН/см*см)=.20E+05

AM1=.30 AM2=.30 APR(1/cм)=.042 ALE(1/cм)=.063 K= 20 eps=.010

РЕЗУЛЬТАТ

F0(рад)= 4.932 A(см)=-.286 DEL(см)=.062 AN(см*см/кН)=.580E-04

КОНТАКТНОЕ ДАВЛЕНИЕ

X(CM) P(KH/CM*CM)

-2.237837E-01 0.000000E+00

-2.202654E-01 -17.800180

-2.097973E-01 -35.038180

-1.926368E-01 -51.157210

-1.692061E-01 -65.608590

-1.400814E-01 -77.847180

-1.059792E-01 -87.308420

-6.773837E-02 -93.328450

-2.629957E-02 -94.787680

1.731787E-02 -88.088760

6.204100E-02 -83.629900

1.067697E-01 -79.424680

1.504038E-01 -74.443600

1.918700E-01 -68.401570

2.301481E-01 -61.228070

2.642967E-01 -52.958350

2.934757E-01 -43.694120

3.169673E-01 -33.583830

3.341939E-01 -22.810110

3.447314E-01 -11.580060

3.483208E-01 -1.166853E-01

График P(x) построенный в программе Mathcad:

В ходе расчётов была определена зависимость распределения контактного давления по зоне контакта.

В нашем случае , следовательно =0.062см откладывается вправо от точки

Максимальное контактное давление будет расположено в зоне (см. рис.2)

Поиск по сайту: