 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Элементарные функции комплексного переменного
а) Показательная функция
Показательная функция 
для любого 
определяется формулой 
.
Если 
ℝ, т.е. 
, тогда 
и получаем определение показательной функции действительного аргумента.
Для показательной функции комплексного аргумента справедливы следующие соотношения:
; 
; 
; 
.
Показательная функция комплексного аргумента является периодической с периодом 
: 
.
б) Логарифмическая функция
Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
Логарифмом комплексного числа 
называется такое комплексное число 
, для которого справедливо равенство: 
.
Получим выражения для действительной и мнимой частей логарифмической функции.
В выражение 
подставим 
и 
:
; 
; 
.
Следовательно, 
,
т.е. логарифмическая функция комплексного аргумента имеет бесчисленное множество значений, т.е. является многозначной.
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает известными свойствами логарифма действительного аргумента:
; 
;
; 
.
в) Степенная функция
При 
ℕ степенная функция определяется равенством 
и является однозначной.
При 
ℕ степенная функция определяется равенством 
и является многозначной.
г) Тригонометрические функции
Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенствами:
; 
; 
; 
.
Если 
, то эти функции совпадают с соответствующими функциями действительного аргумента.
Тригонометрические функции комплексного аргумента удовлетворяют всем тождествам тригонометрических функций действительного аргумента, например:
; 
.
В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функций 
и 
могут быть больше 1:
; 
.
Тригонометрические функции комплексного аргумента являются периодическими функциями с периодом 
:
; 
.
д) Гиперболические функции
Гиперболические функции комплексного аргумента определяются равенствами:
- гиперболический синус;
- гиперболический косинус;
- гиперболический тангенс;
- гиперболический котангенс.
Имеют место соотношения:
; 
; 
; 
.
Поиск по сайту: