 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Электромагнитные волны
Электромагнитным полем называется поле, которое состоит из электрического и магнитного полей, существующих одновременно в одних и тех же точках пространства, в одни и те же моменты времени. Электромагнитное поле в любой момент времени t определяется заданием в каждой точке, определяемой радиус-вектором 
двух векторов: напряженности электрического поля 
и индукции 
магнитного поля.
Источниками электромагнитного поля являются заряды и токи, для характеристики которых вводят объемную плотность заряда r и вектор плотности тока 
. Связь электрического и магнитного полей выражается системой уравнений Максвелла. Эти уравнения являются своего рода аксиомами электродинамики, полученными путем обобщения опытных фактов и экспериментальных сведений о свойствах электрических и магнитных полей.
Уравнения Максвелла могут быть записаны в интегральной и дифференциальной формах. Интегральнаяформа записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках, поверхностях. Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени. Эту форму записи применяют при исследовании полей, изменяющихся от точки к точке.
1. Закон электромагнитной индукции Фарадея: переменное во времени магнитное поле порождает электрическое поле, направление которого связано с направлением 
, и определяется правилом левого винта
; 
. (1.1.1)
2. Закон полного тока: электрический ток и изменяющееся во времени электрическое поле порождают магнитное поле. Направление вектора напряженности магнитного поля 
связано с направлением полного тока и определяется правилом правого винта.
; 
. (1.1.2)
3. Обобщенная теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
; 
. (1.1.3)
4. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитных полей: магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные силовые линии замкнуты и не имеют ни истоков, ни стоков.
; 
. (1.1.4)
Уравнения 
и 
устанавливают взаимосвязь вектора электрического смещения с вектором напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции с вектором напряженности магнитного поля.
Из уравнений Максвелла следует возможность существования связанных между собой во времени и пространстве вихревых электрических и магнитных полей даже при отсутствии зарядов и токов, т.е. при 
, 
. Такие поля представляют собой электромагнитные волны. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для электромагнитной волны, распространяющейся в однородной (e = const, m = const) и непроводящей среде, выглядят следующим образом:
(1.1.5)
1.2 Операторная запись уравнений Максвелла
Для удобства написания приведенных ранее формул введем векторный дифференциальный оператор Гамильтона (Ñ). В декартовой системе координат этот оператор записывается следующим образом:
, (1.2.1)
где 
, 
и 
– орты соответствующих координатных осей.
При помощи этого оператора выражения для градиента некоторой скалярной величины j можно записать в виде:
.
Для заданного в некоторой области пространства векторного поля 
операторы дивергенции и ротора записываются в виде:
и 
.
По сути действие оператора Гамильтона эквивалентно различным способам дифференцирования. В физике наряду с оператором Гамильтона часто используют оператор двойного дифференцирования – оператор Лапласа (D). Действие оператора Лапласа на скалярную величину j можно определить как скалярное произведение оператора Гамильтона на градиент j.
, (1.2.2)
Действие оператора Лапласа на вектор определяет двойное действие гамильтониана по следующей формуле:
. (1.2.3)
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме (с учетом , ) можно записать так:
(1.2.4)
1.3 Волновое уравнение и уравнение электромагнитной волны
Распространение электромагнитного поля в пространстве – это волновой процесс, который может быть описан волновыми уравнениями. Рассмотрим вывод волновых уравнений из уравнений Максвелла для однородной, изотропной, непроводящей среды. Продифференцируем второе уравнение системы (1.2.4) по времени. С учетом того, что дифференцирования по времени и координатам являются независимыми друг от друга операциями, их можно поменять местами, т.е.
.
С другой стороны, из первого уравнения, с учетом связи векторов и 
, 
, тогда
.
Или с учетом связи векторов и 
,
. (1.3.1)
Распишем левую часть уравнения (1.3.1) так, как это сделано в формуле (1.2.3). С учетом третьего уравнения системы (1.2.4) получаем
или
. (1.3.2)
Уравнение (1.3.2) представляет собой волновое уравнение для электрической составляющей электромагнитной волны. Проводя аналогичные математические преобразования, можно получить волновое уравнение и для магнитной составляющей
. (1.3.3)
Данные уравнения являются уравнениями электромагнитной волны, распространяющейся в веществе с диэлектрической проницаемостью eи магнитной проницаемостью m со скоростью
. (1.3.4)
Заметим, что электромагнитная волна распространяется в вакууме с постоянной скоростью
.
Следовательно, уравнение (1.2.4) можно записать в виде
. (1.3.5)
Решением волновых уравнений (1.3.2) и (1.3.3) являются волновые функции
(1.3.6)
где i – мнимая единица; w – частота колебаний; 
– вектор, в направлении которого распространяются колебания; 
и 
– постоянные по модулю векторы, не зависящие от координат и времени. Координаты векторов и могут быть комплексными числами, то есть иметь действительную и мнимую часть. Действительная часть уравнений (1.3.6) имеет вид
(1.3.7)
Поиск по сайту: