Фазовая и групповая скорости

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, которая распространяется в положительном направлении оси Ox в однородной среде

. (1.6.1)

Преобразуем выражение (1.6.1) к виду

.

Уравнение поверхности равных фаз имеет вид

. (1.6.2)

Дифференцирование по времени выражения (1.6.2) приводит к уравнению

.

В этом выражении величина называется фазовой скоростью и характеризует скорость перемещения поверхности равных фаз. Для электромагнитной волны выражение для фазовой скорости принимает следующий вид:

Þ Þ .

. (1.6.3)

Если бы монохроматические волны реально существовали, можно было бы ограничиться только понятием фазовой скорости. Но на самом деле, как уже отмечалось в п. 1.5, излучение световых волн происходит порциями (цугами). Форма цуга определяется амплитудами , частотами w _i и фазами j _i его гармонических составляющих.

.

Поэтому волновой цуг еще называют волновым пакетом. Если скорости всех составляющих волнового пакета одинаковы, то их фазовые соотношения не меняются, и форма пакета остается постоянной. В этом случае его скорость совпадает со скоростью гармоник.

В случае если скорости гармонических составляющих зависят от частоты, то фазовые соотношения между ними меняются по мере их распространения, что приводит к изменению формы пакета. Тогда скорость распространения пакета и фазовая скорость его гармоник не будут совпадать. В этом случае распространение пакета характеризуют так называемой групповой скоростью V_гр.

Рассмотрим простейший случай волнового пакета, состоящего из двух гармонических составляющих одинаковой амплитуды, распространяющихся в одинаковом направлении и имеющих частоты w₁ и w₂, отличающиеся на малую величину Dw<<w₁ и Dw<<w₂

; . (1.6.4)

Результирующая волна имеет световой вектор вида

.

Исходя из принятых условий и , выражение для светового вектора принимает вид

. (1.6.5)

Выражение (1.6.5) характеризует монохроматическую волну с частотой w₁, волновым числом k ₁ и медленно меняющейся амплитудой . Так как модулированная амплитуда характеризует группу волн, то цуг можно характеризовать скоростью переноса определенного значения модулированной амплитуды. Эту скорость принято называть групповой скоростью волн V_гр, под которой понимают скорость перемещения максимума амплитуды

Откуда

или в пределе при D k ®0

. (1.6.6)

Используя выражение для фазовой скорости (1.6.3), нетрудно найти соотношение между групповой и фазовой скоростью волн. Действительно,

. (1.6.7)

Так как , то . Следовательно,

. (1.6.8)

Выражение (1.6.8) называют формулой Рэлея. Оно показывает, что групповая скорость волн всегда меньше фазовой скорости.

Поиск по сайту: