Применение ППП Microsoft Excel

Для решения поставленной задачи воспользуемся возможностями среды электронных таблиц Excelмодулем «Поиск решения», предназначенным для решения задач нелинейного программирования (команда основного меню «Сервис/Поиск решения»). Применим следующую технологию.

Процесс решения начинается с создания формы и ввода исходных данных.

Дадим ряд комментариев по заполнению формы. Ячейки В2-C2 содержат любое допустимое решение задачи, выбор которого осуществляется на основе априорной информации с учетом особенностей, как задачи, так и методов решения. В третьей и четвертой строках заданы соответственно верхняя и нижняя границы вовлекаемых ресурсов, что может диктоваться как особенностями производства, так и возможностями фирмы. В пятой строке задается ограничение, связанное с лимитированием совокупных затрат в рассматриваемом периоде (указанные ограничения будут использованы для решения задачи в краткосрочном периоде).

Помимо результатов с помощью стандартных отчетов находится значение множителя Лагранжа, который в данном случае имеет четкую экономическую интерпретацию: величина, обратная множителю Лагранжа, определяет нижнюю границу цены выпускаемой продукции. Фирма может установить цену не ниже 2,64 денежных единиц.

Далее проиллюстрируем взаимное расположение изокванты и изокосты в оптимальной точке.

Оптимальное значение выпуска равно 2649,9 единиц, следовательно, построим изокванту, определяемую уравнением:

Полученное уравнение разрешим относительно х ₁: .

Далее построим изокосту для уровня издержек С =7800: .

Протабулируем функции (Таблица 1), изменяя аргумент х ₁ в окрестности оптимальной точки и построим графики с помощью «Мастера диаграмм».

Таблица 1 – Исходные данные для построения изокосты и изокванты

Построив изокосту и изокванту убеждаемся, что в оптимальной точке наблюдается касание изокосты и изокванты.

Решим задачу для краткосрочного периода.

В краткосрочном периоде математическая модель будет дополнена ограничением на использование второго ресурса в объеме не более 100 единиц. Это может быть связано с отсутствием возможности увеличения рабочих мест или с недостатком квалифицированной рабочей силы.

В результате модель примет вид:

Решая задачу для краткосрочного периода, получим следующие результаты: фирма полностью использует ресурс х ₂ в количестве 450 единиц, затраты первого ресурса составят 100 единиц, при этом объем выпуска сократится до 2649,8607 единиц при заранее обусловленных совокупных затратах в 7800 единиц. Решение и взаимное расположение изокосты и изокванты представлено на рисунках 8-11. В краткосрочном периоде уже не наблюдается касания, а изокоста и изокванта пересекаются.

Сопоставляя результаты можно сделать вывод, что в краткосрочном периоде при одинаковых издержках фирмы объем выпускаемой продукции ниже, чем объем выпуска в долгосрочном периоде. Следовательно, прибыль фирмы в долгосрочном периоде не ниже краткосрочного.

Рисунок 8 – Результаты решения задачи в краткосрочном периоде в ЭТ «MS Excel»

Рисунок 10 – Взаимное расположение изокванты и изокосты в точке локального рыночного равновесия для краткосрочного периода в ЭТ «MS Excel»

Решение задачи максимизации выпуска при ограничении на совокупные затраты существенно зависит от величины затрат, следовательно, при изменении С изменится и положение точки локального рыночного равновесия (x ₁⁰(C), x ₂⁰ (C)). Множество точек, соответствующих различным значениям С, образуют линию L, которая называется долговременной (стратегической) линией развития фирмы. Проведем анализ влияния величины издержек на оптимальную стратегию фирмы, предполагая, что цены на ресурсы остаются неизменными. Для этого решается семейство задач с возможным диапазоном изменения совокупных издержек и строится стратегическая (долговременная) линия развития фирмы. Результаты анализа представлены в таблице 2 и на рисунке 13. На основе аппроксимации результатов может быть построена аналитическая зависимость объема выпуска от затрат.

Таблица 2 – Вариантный анализ

Рисунок 12 – Стратегическая линия развития фирмы

Исследуем возможность решения задачи аналитически.

Заданная производственная функция является неоклассической, то есть непрерывной, возрастающей, строго квази-вогнутой и дифференцируемой во всех точках. Фирма может вовлекать в производство только неотрицательные количества каждого ресурса. Кроме того, множество производственных возможностей является ограниченным, замкнутым, непустым и выпуклым. В этой ситуации предпосылка о строгой вогнутости (выпуклости) производственной функции позволяет переписать ограничение-неравенство на совокупные затраты в виде равенства. Экономически это означает, что так как издержки ограничены величиной 7800 единиц, то имеет смысл использовать производственные возможности в полном объеме, то есть зафиксировать С на уровне 7800, и перейти к следующей задаче:

Построенная модель представляет собой задачу нелинейного программирования с ограничениями в форме равенств, для решения которой можно применить метод Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид:

Найдем частные производные по всем переменным и приравняем их к нулю, затем решим полученную систему нелинейных уравнений.

Решая систему, получим, что решением является точка х ₁=433,3; х ₂=288,9; λ =0,35. Максимальный выпуск составит Y =2647,26 единиц при издержках С =7800 единиц.

В целом, анализируя различные варианты поведения фирмы в области управления ресурсами, фирма должна учитывать не только производственные возможности, но и ограничения, связанные со сбытом произведенной продукции, возможные ограничения по мощности поставщиков ресурсов, а также доступность финансовых ресурсов.

Поиск по сайту: