Особые точки

Практическое занятие №4

Особые точки систем. Классификация особых точек

Особые точки

Определение. Пусть точка Р лежит внутри области G, где мы рассматриваем дифференциальное уравнение

или(2)

(2')

или на ее границе, где уравнение (2) или (2') также может быть задано.

Если можно указать такую окрестность U точки Р, что через каждую точку этой окрестности проходит одна и только одна интегральная линия и, кроме того, по крайней мере одна из функций f(x, у) и f₁(х, у) в U(непрерывна, то точку Р мы будем называть обыкновенной точкой уравнения (2) или (2').

Чтобы точка Р была обыкновенной, достаточно, чтобы в Uфункция f (х, у) была непрерывна по х и удовлетворяла условию Липшица по у или чтобы функция f₁ (х, у) была непрерывна по у и удовлетворяла условию Липшица по х. (Вместо условия Липшица достаточно потребовать ограниченности соответствующей частной производной.) Однако эти условия не необходимы, что видно на примере уравнения

Хотя в точках оси х условие Липшица нарушается, но все точки плоскости обыкновенные.

Если точка Р не обыкновенная, то она называется особой точкой для уравнения (3.2) или (3.2'). Мы видим, что точка Р может быть особой в трех случаях:

a) Точка Р лежит на границе области G; всякая такая граничная точка является особой. Так, для уравнений (1.4) и (1.7) начало координат служит граничной особой точкой, так как область G в этих примерах — это вся плоскость, за исключением начала координат.

b) Может оказаться, что точка Р является точкой неединственности, т. е. такой точкой, что в любой ее окрестности через нее проходит более одной интегральной линии. Точка Р может также быть предельной для точек неединственности.

c) Наконец, само заданное поле направлений может иметь в точке Р разрыв (этот случай в примерах встречается редко).

Конечно, возможна и комбинация этих случаев (граничная точка неединственности и т. д.).

Изолированные особые точки (т. е. такие особые точки, в некоторой окрестности которых нет других особых точек) в приложениях чаще всего встречаются при исследо­вании уравнений вида

где М(х, у) и N(x, у) —функции, имеющие непрерывные частные производные по х и у высоких порядков. Легко видеть, что для таких уравнений все внутренние точки рассматриваемой области, где М(х, у)≠0 или N(x, у)≠О, являются обыкновенными точками.

Рассмотрим теперь какую-нибудь внутреннюю точку (х₀, у₀), где и М(х, у) = 0, и N (х, у) = 0. Для упрощения записи будем предполагать, что х_о = 0 и у_о = 0. Разлагая тогда М(х, у) и N (х, у) по степеням х и у и ограничиваясь при этом членами второго порядка, получим в окрестности точки (0, 0)

Это уравнение не определяет при x=0 и у = 0. Но если

то, как бы мы ни задали - в начале координат, это начало координат будет точкой разрыва для значений - и потому особой точкой для нашего дифференциального уравнения.

Перрон показал, что на характер поведения интегральных линий около изолированной особой точки (у нас—начала координат) члены О(х²+у²), стоящие в числителе и знаменателе, не оказывают никакого влияния, если только действительные части обеих корней уравнения

отличны от нуля. Поэтому, чтобы составить себе представление об этом поведении, изучим поведение около начала координат интегральных линий уравнения

для которого

Можно показать, что линейным неособым преобразованием

где k_l. действительны, это уравнение приводится к одному из следующих трех типов:

Рассмотрим подробно каждый из этих грех случаев. Заметим предварительно следующее. Если оси Ох и Оу были взаимно перпендикулярными, то оси и не будут уже, вообще говоря, образовывать между собой прямой угол. Но для упрощения выполнения рисунков мы будем изображать и взаимно перпендикулярными.

1-й случай. Общим интегралом служит уравнение - Поведение интегральных линий в этом случае схематически изображено на рис. 12, 13 и 1.

Рис. 12 относится к случаю, когда k>1. Здесь все интегральные линии касаются в О оси , за исключением только обеих половин оси . Сами оси и являются

рис.1

рис.2

интегральными линиями всюду, за исключением, конечно, самой точки О, где уравнение не определяет никакого направления.

Случай, когда k=1, легко анализируется.

При 0<k<;1 (рис. 13) все интегральные линии, за исключением только обеих половин оси , касаются оси . Во всех случаях, когда k > О, всякая интегральная линия подходит к О по определенному направлению, т. е имеет в О определенную касательную Вообще, когда всякая интегральная линия, имеющая точки, достаточно близкие к О, приближается к О как угодно близко, и притом по определенному направлению, то точку О называют узлом Значит, при k>0 точка О есть узел для интегральных линий уравнения (3 34,а)

Поведение интегральных линий т) , когда k < 0, изображено на рис 14 В этом случае к точке О подходят

рис.3

как угодно близко только четыре интегральные линии две полуоси и две полуоси . Всякая же другая

рис.4

интегральная линия, приблизившись достаточно близко к точке О, потом начинает от нее удаляться. Такие точки называются седлами Именно такой вид имеют на карте линии уровня перевала между двумя горами (седла)

2-й случай Общим интегралом служит уравнение (рис 15) Все интегральные линии касаются в точке О оси .Из координатных осей только ось является интегральной линией Точка О в этом случае есть также узел, как и при k>0 в первом случае.

3-й случаи Уравнение (3 34,в) легче всего проинтегрировать, если перейти к полярным координатам Положим

Тогда после вычислений получим

и, следовательно,

Если k > 0, все интегральные кривые приближаются к О,бесконечно навиваясь на эту точку, когда (рис.16).

рис.5

При k<0 то же самое происходит, когда . В этих

случаях точку О называют фокусом. Если же k = 0, семейство интегральных кривых уравнения (3 34,в)

рис.6

состоит из окружностей с центром в О. Вообще, если некоторая окрестность точки О целиком заполнена замкнутыми интегральными линиями, содержащими внутри себя О, то такую точку называют центром. Центр может легко перейти в фокус, если к числителю и знаменателю правой части уравнения (3.32) приписать члены какого угодно высокого порядка; следовательно, в этом случае поведение интегральных кривых вблизи О не определяется членами 1-го порядка. Позже, мы увидим, что k обращается в нуль только тогда, когда действительная часть корней % детерминанта

обращается в нуль. Ни в каких других из рассмотренных выше случаев этадействительная часть в нуль не обращается. Изложенная в этом параграфе классификация особых точек принадлежит Пуанкаре.

ЗАДАЧИ

1. Представьте поведение интегральных кривых вблизи особых точек для следующих уравнений.

2. Представьте поведение интегральных кривых для уравнений

(четыре случая)

3. Как расположены интегральные линии уравнения если

4. Приведите пример особой точки, в некоторой окрестности которой через каждую точку проходит единственная интегральная кривая

1 Особой точкой системы

или уравнения

где функции Р и Q непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которой Р(х, y)=0, Q (x, y)=0.

Таким образом особой точкой системы

или уравнения

где функции Р и Q непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которой Р(х, y)=0, Q (x, y)=0.

Рис 2.

2. Для исследования особой точки системы

или уравнения

надо найти корни характеристического уравнения

Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — узел (рис. 2, а), если разных знаков—седло (рис. 2,6), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка—фокус (рис. 2, в), если чисто мнимые,—центр

(рис 2, г), если корни равные и ненулевые (т е ), то особая точка может быть вырожденным узлом (рис. 2, д) или дикритическим узлом (рис. 2, е), причем дикритический узел имеет место только в случае системы или уравнения . а во всех остальных случаях при особая точка является вырожденным узлом

Если же один или оба корня уравнения (5) равны нулю, то и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4),

сокращается сравнение принимает вид , и решения на плоскости (х, у) изображаются параллельными прямыми.

Чтобы начертить интегральные кривые на плоскости в случае узла, седла и вырожденного узла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку (см ниже пример 1) В случае особой точки типа фокус необходимо определить направление закручивания интегральных кривых (см ниже пример 2)

Пример 1. Исследовать особую точку уравнения

Составляем и решаем характеристическое уравнение

Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особая точка — узел (того же типа, что на рис. 2, а). Чтобы найти прямые, проходящие через особую точку, подставляем y = kx в уравнение (6). Получим

Так как получилась одна прямая, у=х, а при вещественных различных корнях их должно быть две, то, следовательно, вторая потеряна. Когда мы искали прямые, проходящие через начало координат, в виде y = kx, то мы могли потерять только прямую х = 0.

Записав уравнение (6) в виде или перейдя от уравнения (6) к системе (3), получим, что x = 0 —решение. Итак, искомые прямые: у = х и х = 0. Чтобы узнать, какой из них касаются интегральные кривые, построим изоклины y' = 0 (уравнение этой

изоклины x + y = 0) и у' =- 1 (уравнение этой изоклины , т. е. у =-3х). Из полученного чертежа (рис, 3, а) видно, что интегральные кривые, попавшие в угол между прямыми x=0 и y=-3x, не могут выйти из него (потому что в этом угле у' < 0), следовательно, они должны касаться прямой х = 0, и узел имеет вид, изображенный на рис. 3, б.

Рис. 3.

Находим корни характеристического уравнения

Особая точка—фокус. Переходим от уравнения (7) к системе

Пример 2. Исследовать особую точку уравнения

Строим в точке (1,0) вектор скорости / В силу (8) он равен (х—2y, 4х—3у). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1,4) (рис. 4, а). Следовательно, возрастанию t соответствует движение по траекториям против часовой стрелки. Так как вещественная часть корней равна —1 < 0, то особая точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании t решения неограниченно приближаются к особой точке. Итак, при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис. 4, б).

3. Для исследования особой точки более общей системы (1) или уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р и Q в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид

где — новые координаты (после переноса), а, b, c, d—постоянные. Предположим, что для некоторого

где . Очевидно, это условие выполняется (при любом ), если функции Р и Q в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля. Тогда

Рис. 4.

особая точка x₁ = 0, y₁ = 0 системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций ). Далее, угловые коэффициенты направления, по которым интегральные кривые входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (однако прямым y = kx для системы (3) могут соответствовать кривые для системы (9)), а в случае фокуса — направление закручивания интегральных кривых одно и то же.

В том случае, когда для системы (3) особая точка — центр, для системы (9) она может быть фокусом или центром. Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при или при . Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Для наличия центра достаточно (но не необходимо), чтобы интегральные кривые системы (9) имели ось симметрии, проходящую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меняется от замены х на —х (или у на — у).

В задачах 811—828 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х, у).

В задачах 829—832 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем.

В задачах 833—842 найти и исследовать особые точки и адть чертеж расположения интегральных кривых данных уравнений.

Поиск по сайту: