Задача № 2. Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной (альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии)

Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной (альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии), степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F- критерий Фишера).

Решение:

Построение линейной функции альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии вида

(42)

сводится к нахождению параметра:

(43)

где r_yx – линейный коэффициент парной корреляции между переменными y и x;

S_x, S_y – среднеквадратическое отклонение величин y и x.

Рассчитаем :

Получим линейное уравнение

у = 160,06 + 0,28(х – 32,90) = 160,06 + 0,27х – 9,21 = 150,85 + 0,27х

Рассчитаем показатели: тесноты связи – коэффициент корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(29)

Что свидетельствует о сильной прямой связи.

Показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 4,16 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(41)

k₁ = 2-1 = 1

k₂ = 15-2 = 13

F_крит(0,05; 1; 13) = 4,67

F_набл > F_крит

23,1 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

Построению степенной функции предшествует процедура линеаризации переменных.

В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln y=ln β₀+ β₁ ln x (44)

Y = C + β₁ X (45)

Где Y=ln y, X=ln x, C=ln β₀

Для расчетов используем данные таблицы №4.

Таблица №4.

год	xi	yi	ln xi	ln yi	lnxi lnyi	ln2xi	ln2yi	i	уi - i	(уi - i)2	Аi	у -	(у - )2
	33,09	170,18	3,49923112	5,1368567	17,9750488	12,2446184	26,3872968	160,5205	9,6595	93,3059402	0,0686	10,115	102,313225
	37,71	180,06	3,62992531	5,19329013	18,8512553	13,1763578	26,9702624	171,8395	8,2205	67,5766202	0,0628	19,995	399,800025
	28,78	154,93	3,3596807	5,0429734	16,9427804	11,2874544	25,4315807	149,961	4,969	24,690961	0,0416	-5,135	26,368225
	24,49	139,41	3,19826487	4,93741923	15,7911745	10,2288982	24,3781087	139,4505	-0,0405	0,00164025	0,012	-20,655	426,629025
	31,29	159,24	3,44329856	5,0704125	17,458944	11,856305	25,7090829	156,1105	3,1295	9,79377025	0,0296	-0,825	0,680625
	31,82	158,57	3,46009502	5,06619614	17,52952	11,9722576	25,6663433	157,409	1,161	1,347921	0,0174	-1,495	2,235025
	37,3	177,59	3,61899333	5,17947752	18,7444946	13,0971127	26,8269874	170,835	6,755	45,630025	0,0546	17,525	307,125625
	33,91	162,09	3,52370996	5,08815174	17,9291709	12,4165319	25,8892881	162,5295	-0,4395	0,19316025	0,0089	2,025	4,100625
	29,42	149,92	3,38167472	5,01010182	16,9425346	11,4357239	25,1011202	151,529	-1,609	2,588881	0,0018	-10,145	102,921025
	31,7	157,72	3,45631668	5,06082131	17,4918011	11,946125	25,6119123	157,115	0,605	0,366025	0,0138	-2,345	5,499025
	35,21	163,45	3,56133013	5,09650713	18,1503444	12,6830723	25,974385	165,7145	-2,2645	5,12796025	0,001	3,385	11,458225
	37,03	163,21	3,61172839	5,09503772	18,4018924	13,044582	25,9594093	170,1735	-6,9635	48,4903323	0,028	3,145	9,891025
	35,5	162,35	3,5695327	5,0897545	18,1680451	12,7415637	25,9056009	166,425	-4,075	16,605625	0,012	2,285	5,221225
	33,79	152,86	3,5201649	5,02952247	17,7047485	12,3915609	25,2960963	162,2355	-9,3755	87,9000002	0,0509	-7,205	51,912025
	32,51	149,4	3,48154773	5,00662727	17,4308118	12,1211746	25,0663166	159,0995	-9,6995	94,0803003	0,0557	-10,665	113,742225
итого	493,55	2400,98	52,3154941	76,1031496	265,512567	182,643338	386,173791	2400,9475	0,0325	497,699162	0,4586	0,005	1569,89718
среднее	32,9	160,065	3,48769961	5,0735433	17,7008378	12,1762226	25,7449194	160,063167	0,00216667	33,1799442	0,0306	0,00033333	104,659812

Рассчитаем С и β₁:

(46)

(47)

Получим линейное уравнение:

(48)

Выполнив его потенцирование, получаем теоретические значения результата .

(49)

По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(50)

Что свидетельствует о сильной связи.

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 3,27 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

k₁ = 2-1 = 1

k₂ = 15-2 = 13

F_крит(0,05; 1; 13) = 4,67

F_набл > F_крит

26,48 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

Построению уравнения показательной кривой y= предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

ln y=ln β₀+x ln β₁ (52)

Y=C+B x (53)

где Y=ln y, C=ln β₀, B=ln β₁.

Для расчетов используем данные таблицы №5.

Значения параметров регрессии C и В составили:

(54)

Получим линейное уравнение:

(55)

Таблица №5.

год	xi	yi	ln yi	ln yi · xi	xi2	ln2yi	i	уi - i	(уi - i)2	Аi	уi - i	(уi - i)2
	33,09	170,18	5,13686	169,978588	1094,9481	26,3873	160,521	9,6595	93,3059	0,0686	10,115	102,313
	37,71	180,06	5,19329	195,838971	1422,0441	26,9703	171,84	8,2205	67,5766	0,0628	19,995	399,8
	28,78	154,93	5,04297	145,136775	828,2884	25,4316	149,961	4,969	24,691	0,0416	-5,135	26,3682
	24,49	139,41	4,93742	120,917397	599,7601	24,3781	139,451	-0,0405	0,00164	0,012	-20,655	426,629
	31,29	159,24	5,07041	158,653207	979,0641	25,7091	156,111	3,1295	9,79377	0,0296	-0,825	0,68062
	31,82	158,57	5,0662	161,206361	1012,5124	25,6663	157,409	1,161	1,34792	0,0174	-1,495	2,23503
	37,3	177,59	5,17948	193,194512	1391,29	26,827	170,835	6,755	45,63	0,0546	17,525	307,126
	33,91	162,09	5,08815	172,539225	1149,8881	25,8893	162,53	-0,4395	0,19316	0,0089	2,025	4,10063
	29,42	149,92	5,0101	147,397195	865,5364	25,1011	151,529	-1,609	2,58888	0,0018	-10,145	102,921
	31,7	157,72	5,06082	160,428035	1004,89	25,6119	157,115	0,605	0,36602	0,0138	-2,345	5,49902
	35,21	163,45	5,09651	179,448016	1239,7441	25,9744	165,715	-2,2645	5,12796	0,001	3,385	11,4582
	37,03	163,21	5,09504	188,669247	1371,2209	25,9594	170,174	-6,9635	48,4903	0,028	3,145	9,89103
	35,5	162,35	5,08975	180,686285	1260,25	25,9056	166,425	-4,075	16,6056	0,012	2,285	5,22122
	33,79	152,86	5,02952	169,947564	1141,7641	25,2961	162,236	-9,3755	87,9	0,0509	-7,205	51,912
	32,51	149,4	5,00663	162,765453	1056,9001	25,0663	159,1	-9,6995	94,0803	0,0557	-10,665	113,742
итого	493,55	2400,98	76,1031	2506,80683	16418,1009	386,174	2400,95	0,0325	497,699	0,4586	0,005	1569,9
среднее	32,9	160,065	5,07354	167,120455	1094,54006	25,7449	160,063	0,00217	33,1799	0,0306	0,00033	104,66

Выполнив его потенцирование, получаем теоретические значения результата .

(56)

По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(50)

Что свидетельствует о сильной связи.

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 0,19 %, что свидетельствует о высоком качестве модели

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

k₁ = 2-1 = 1

k₂ = 15-2 = 13

F_крит(0,05; 1; 13) = 4,67

F_набл > F_крит

26,39 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: z= .

Тогда y= β₀+ β₁ z

Для расчетов используем данные таблицу №6.

Значения параметров регрессии β₀ и β₁ составили:

(52)

(53)

Получим линейное уравнение

(54)

Индекс корреляции:

(50)

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 0,2 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

Таблица №6.

год	xi	yi	zi	yi · zi	zi2	yi2	i	уi - i	(уi - i)2	Аi	уi - i	(уi - i)2
	33,09	170,18	0,0302206	5,1429434	0,0009132	28961,23	160,52	9,6595	93,3059	0,0686	10,115	102,313
	37,71	180,06	0,0265181	4,7748607	0,0007032	32421,60	171,84	8,2205	67,5766	0,0628	19,995	399,8
	28,78	154,93	0,0347463	5,3832522	0,0012073	24003,30	149,91	4,969	24,691	0,0416	-5,135	26,3682
	24,49	139,41	0,0408329	5,6925275	0,0016673	19435,14	139,45	-0,0405	0,00164	0,012	-20,655	426,629
	31,29	159,24	0,0319590	5,0891658	0,0010213	25357,37	156,11	3,1295	9,79377	0,0296	-0,825	0,68062
	31,82	158,57	0,0314267	4,9833438	0,0009876	25144,44	157,40	1,161	1,34792	0,0174	-1,495	2,23503
	37,3	177,59	0,0268096	4,7611260	0,0007187	31538,20	170,83	6,755	45,63	0,0546	17,525	307,126
	33,91	162,09	0,0294898	4,7800059	0,0008696	26273,16	162,53	-0,4395	0,19316	0,0089	2,025	4,10063
	29,42	149,92	0,0339904	5,0958531	0,0011553	22476,00	151,52	-1,609	2,58888	0,0018	-10,145	102,921
	31,7	157,72	0,0315457	4,9753943	0,0009951	24875,59	157,11	0,605	0,36602	0,0138	-2,345	5,49902
	35,21	163,45	0,0284010	4,6421471	0,0008066	26715,90	165,71	-2,2645	5,12796	0,001	3,385	11,4582
	37,03	163,21	0,0270051	4,4075074	0,0007292	26637,50	170,17	-6,9635	48,4903	0,028	3,145	9,89103
	35,5	162,35	0,0281690	4,5732394	0,0007934	26357,52	166,42	-4,075	16,6056	0,012	2,285	5,22122
	33,79	152,86	0,0295945	4,5238236	0,0008758	23366,18	162,23	-9,3755	87,9	0,0509	-7,205	51,912
	32,51	149,4	0,0307597	4,5955090	0,0009461	22320,36	159,1	-9,6995	94,0803	0,0557	-10,665	113,742
итого	493,55	2400,9	0,4614691	73,420699	0,0143904	385883,5	2400,9	0,0325	497,699	0,4587	0,005	1569,9
среднее	32,9	160,06	0,0307646	4,8947133	0,0009593	25725,5	160,06	0,0021	33,1799	0,0305	0,0003	104,66

k₁ = 2-1 = 1

k₂ = 15-2 = 13

F_крит(0,05; 1; 13) = 4,67

F_набл > F_крит

28,93 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

В результате строим сводную таблицу данных:

Таблица №7.

			значимость
Линейная функция	2,57%	0,83	+
Степенная функция	2,57%	0,83	+
Показательная функция	0,19%	0,82	+
Равносторонняя гипербола	0,2%	0,82	+

По уравнению линейной функции получена наибольшая оценка тесноты связи (по сравнению со степенной функцией, показательной функцией, равносторонней гиперболой), но так же получена и наибольшая ошибка аппроксимации . Оценка тесноты связи равносторонней гиперболы практически не отличается от тесноты связи линейной функции, и ошибка аппроксимации этой модели (по сравнению с остальными функциями) минимальна . Поэтому можно сделать вывод, что равносторонняя гипербола является наиболее оптимальным видом функции, описывающим зависимость у от х.

Поиск по сайту: