Интервальные оценки. Необходимый объём выборки

Тема: Статистические оценки параметров распределения.

Точечные оценки.

Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин , каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величина называют случайной выборкой объёма из генеральной совокупности и обозначают . Любую функцию случайной выборки называют статистикой.

Если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра , то его точечной оценкой называют статистику , значение которой на данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра : .

Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности.

Оценка называется: 1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. ; 2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е. ; 3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.

Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметров и требуется найти значение его оценки по выборке .

Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистику значение которой для любой выборки удовлетворяет условию: , где - функция правдоподобия выборки , - множество всех возможных значений вектора параметров .

Функция правдоподобия имеет вид: 1) - для дискретной случайной величины ;

2) - для непрерывной случайной величины .

Если функция дифференцируема как функция аргумента для любой выборки и максимум достигается во внутренней точке , то значение точечной оценки максимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия: , . Нахождение упрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм , так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде: , .

13.29 По выборке объёма из генеральной совокупности найдено значение смещённой оценки генеральной дисперсии . Найти значение несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности, если: а) ; б) .

В задачах 13.30-13.34 по выборке объёма найти значения точечных оценок параметров указанных распределений методом максимального правдоподобия.

13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого события в одном испытании): ,

где - число появлений события в -ом опыте, - количество испытаний в одном опыте, - число опытов.

13.31 Распределение Пуассона с параметром : ,

где - число появлений события в -ом опыте, - количество испытаний в одном опыте, - число опытов.

13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероятность появления некоторого события в одном испытании): , где - число испытаний до появления события .

13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого .

13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности .

13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёма значение оценки параметра распределения «хи-квадрат», функция плотности которого .

13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёма значение оценки параметра гамма-распределения ( известно), функция плотности которого .

Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.

Если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра , то его интервальной оценкой или доверительным интервалом называется случайный интервал , который накрывает неизвестное значение параметра с заданной вероятностью , т.е. . Число называется доверительной вероятностью, а число - уровнем значимости. Обычно используются значения , равные , , .

Точность интервальной оценки характеризуется длиной доверительного интервала и зависит от объёма выборки и доверительной вероятности . Очевидно, что, чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка. Доверительный интервал, симметричный относительно точечной оценки , определяется формулой и имеет вид , где характеризует отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения и называется предельной ошибкой выборки. Доверительные интервалы часто строятся в предположении, что выборка получена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение.

Доверительные интервалы для параметров и нормально распределённой генеральной совокупности.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
( неизвестна)		, где ,
( неизвестно)		, где , , .

Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
(, , )		, где

Здесь: - корень уравнения (приложение 6.2); -критическая точка распределения Стьюдента (приложение 6.4); , - критические точки распределения (приложение 6.3); - число элементов в выборке, обладающих данным свойством.

Необходимый объём выборки обеспечивающий заданное значение при оценивании параметров и определяется, соответственно, соотношениями: и ( - целое число).

13.38 Предполагая, что распределение генеральных совокупностей является нормальным, найти 90%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) и дисперсии следующих характеристик: а) ёмкость конденсатора, если , , ; б) время безотказной работы электролампы, если , , ; в) диаметр вала, если , , ; г) содержание углерода в ед. продукта, если , , .

13.40 Получены следующие данные о годовом товарообороте (в млн. руб.) 100 продовольственных магазинов города:

	[100,120)	[120,140)	[140,160)	[160,180)	[180,200]

Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего товарооборота продовольственного магазина в городе.

13.41 Измерения твёрдости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:

13.1, 12.8, 11.9, 12.4, 13.5, 13.7, 12.0, 13.8, 10.6, 12.4, 13.5, 11.7, 13.9, 11.5, 12.5, 11.9.

В предположении, что выборка измерений получена из нормально распределённой генеральной совокупности, найти 95%-ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

13.42 Результаты 10 измерений ёмкости конденсатора дали следующие отклонения от номинального значения (пкФ):

.

Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратичного отклонения, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

13.43 Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.

13.44 При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 повреждённых. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли повреждённых ящиков во всей партии.

13.45 Для оценки уровня безработицы в городе были отобраны случайным образом 100 человек рабочих специальностей. Из них 6 человек оказались безработными. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли безработных рабочих в городе.

13.46 При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

13.47 С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причём 10 оказались бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятность появления бракованного подшипника отличается от относительной частоты его появления не более чем на 5%?

13.48 В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятность выигрыша отличается от его относительной частоты не более чем на 1%?

13.49 По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 70%. Найти границы, в которых с доверительной вероятностью заключён рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с вероятностью гарантировать предельную ошибку, допускаемую при определении рейтинга в результате социологического исследования, не превышающую 1%?

13.50 Высота самолёта определяется с помощью высотомера, средняя квадратичная ошибка которого . Считая, что ошибки измерения высоты самолёта распределены по нормальному закону, определить, сколько надо иметь таких приборов на самолёте, чтобы с вероятностью предельная ошибка измерения средней высоты самолёта была не более .

ОТВЕТЫ: 13.29 а) ; б) . 13.30 . 13.31 13.32 13.33 13.34 ., . 13.36 13.37

13.38 а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

13.40 . 13.41 , . 13.42 ; . 13.43 13.44 13.45 13.46 13.47 ; . 13.48 ; . 13.49 ; . 13.50 На самолёте должно быть не менее двух высотомеров.

Поиск по сайту: