По степени сложности применяемого инструментария

По оптимизации

Тема: «Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности».

1. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем.
2. Метод корреляционно-регрессионного анализа.
3. Матричный метод.
4. Применение теории игр.
5. Применение теории массового обслуживания.
6. Методы линейного и динамического программирования.

1) Математические методы экономического анализа используются при изучении стохастических систем, в которых связь между изучаемыми факторами и результативным показателем носит стохастический вероятностный характер. Стохастические связи между различными явлениями и их признаками характеризуются тем, что результативный признак, т.е. зависимая переменная, испытывает влияние не только анализируемых, но и ряда не контролируемых факторов. При этом полный перечень факторов и точный механизм их влияния на зависимую переменную не известен. Поэтому значение этой переменной невозможно точно измерить. Они определяются с некоторой вероятностью. Например: увеличение фондовооруженности труда дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях, даже при очень выровненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя. Особенность стохастических связей состоит в том, что такие связи проявляются во всей совокупности, а не в каждой её единице. Проявление стохастических связей подвержено действию чисел, суть которых заключается в том, что лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайные взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо. В основе построения стохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значений, изучаемых экономических показателей. Предпосылками стохастического моделирования являются:

-Возможность составить совокупность наблюдений, т.е. возможность повторно измерить параметры одного и того же явления в разных условиях.

-Качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

-Достаточная размерность (численность) совокупности наблюдений, позволяющая с достаточной надежностью и точностью выявить изучаемые закономерности, т.е. моделируемые связи.

-Наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей.

Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моделируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных требований является важной предпосылкой применяемости метода и достоверности полученных результатов. Основная особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при стохастическом анализе нельзя составить модель путем качественного (теоретического) анализа. Необходим количественный анализ эмпирических данных.

К числу задач анализа хозяйственной деятельности, для решения которых применяются методы стохастического моделирования, относятся:

-изучение наличия, направления и интенсивности связей показателей хозяйственной деятельности.

-ранжирование и классификация факторов экономических явлений.

-выявление аналитической формы связей между показателями.

-ранжирование и классификация объектов хозяйствования

-выявление наиболее информативных, т.е. обобщающих, показателей хозяйственной деятельности.

-анализ структурных сдвигов в совокупности объектов анализа

-нахождение общих закономерностей функционирования объекта

-построение усредненных нормативов хозяйственной деятельности.

Для решения перечисленных задач применяются математико-статистические методы стохастического моделирования.

2) Корреляционный анализ позволяет решить следующие задачи: измерить тесноту известной связи между варьирующими показателями и установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора. Регрессионный анализ является методом установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми показателями. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный (зависимый) показатель при изменении любого из независимых факторов.

В ходе регрессионного анализа решаются две задачи: построение уравнения регрессии, которое и является факторной моделью и оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию результативного показателя. Корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь показателей, а регрессионный изучает причинно-следственную зависимость. В зависимости от направления действия связей и в детерминированном и в стохастическом анализе могут быть прямыми и обратными. При прямой связи имеет место однонаправленное изменение фактора и результативного показателя, т.е. при росте фактора результативный показатель растет, а при снижении фактора снижается.

При обратной связи изменение фактора и результативного показателя являются разнонаправленными, т.е. при росте фактора результативный показатель снижается, а при снижении фактора растет.

В зависимости от количества факторов, влияющих на результативный показатель, различают однофакторные и многофакторные взаимосвязи. Взаимосвязь между одним фактором и результативным показателем устанавливает парная корреляция, а взаимодействие нескольких факторов с результативным показателем – множественная корреляция. В зависимости от формы связи различают прямолинейную (линейную) и криволинейную связи.

Линейная связь описывается уравнением прямой и характеризует непрерывное пропорциональное изменение результативного показателя, в зависимости от изменения фактора, причем эта связь может быть как прямой, так и обратной. При криволинейных связях результативные показатели могут неравномерно, непропорционально меняться либо в том же направлении что и факторы, либо в другом. При изучении связей экономических показателей достаточно часто используют уравнения однофакторной (парной) линейной корреляционной связи, которая имеет вид:

Y=a+bx, где

Y – результативный показатель

a и b – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, которые необходимо определить

x – фактор

Данное уравнение регрессии лишь приблизительно характеризует взаимосвязь между факторным и результативным признаком. Уравнение необходимо решить, т.е. найти его корни или параметры а и b. С этой целью используют способ наименьших квадратов, который дает систему нормальных уравнений. Для уравнения прямой записывают два нормальных уравнения:

Y=a+bx => {na+b∑x=∑y, ∑xa+b∑x2=∑xy

Определив параметры этого уравнения а и b, подставляем их в уравнение прямой и находим значение у(х), т.е. теоретически выровненное значение результативного признака при предположении наличия данной формы связи. В уравнении прямой параметр b называется коэффициентом парной линейной регрессии (показывает угол наклона). Он показывает скорость изменения результата при изменении фактора х на 1. Например: на сколько увеличится товарооборот, если численность возрастет на одного человека. Параметр b может быть использован в качестве планового норматива. Знак при параметре b указывает направление этого изменения.

Параметр а показывает начало отсчета. Для проверки точности расчетов следует помнить, что сумма теоретического значения всегда должна быть равна сумме у.

Степень тесноты связи, т.е. степень адекватности полученной факторной модели, рассчитывается при помощи коэффициента корреляции. При линейной зависимости коэффициент корреляции определяется по формуле:

r=ẋẏ-ẋ*ẏ/√(ẋ2-(ẋ)2)*(ẏ2-(ẏ)2)

Линейный коэффициент корреляции принимает значение (-1;+1). Теснота связи оценивается по таблице Чеддока. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь, т.е. тем более значимым является исследуемый фактор для результативного показателя. При r=0 связь отсутствует. Рассчитав линейный коэффициент корреляции можно по этим данным найти параметр b уравнения прямой.

b= ẋẏ-ẋ*ẏ/(ẋ2-(ẋ)2

3)При использовании матричного метода, исходная матрица совокупности показателей преобразуется в матрицу стандартизованных коэффициентов, т.е. все элементы столбца матрицы делятся на элемент данного столбца соответствующей эталонной организации, затем дается сравнительная рейтинговая оценка по выбранным показателям. В результате сравнительного анализа определяется рейтинг анализируемых систем. Алгоритм применения матричного метода проходит 4 этапа:

1Обоснование системы оценочных показателей и формирование матрицы исходных данных (aij), т.е. таблицы, где по строкам отражаются номера систем (i), а по столбцам – номера показателей (j).

2В каждой графе определяется максимальный элемент, который принимается за 1, затем все элементы этой графы aij делятся на максимальный элемент эталонной системы (max aij) и создается матрица стандартизованных коэффициентов xij.

3Все элементы матрицы возводятся в квадрат. Если значимость показателей, составляющих матрицу, разнится, тогда каждому показателю присваивается весовой коэффициент k, который определяется экспертным путем. Рейтинговая оценка по каждой системе определяется по формуле: R=√k1x1j2+k2x2j2+…+knxnj2

4Полученные рейтинговые оценки размещаются в порядке убывания или возрастания, что зависит от экономического смысла показателей, составляющих рейтинг. Результаты описанного сравнительного анализа могут применяться для определения инвестиционной привлекательности партнера, эмитента и для других целей. Рассмотрим применение матричного способа для определения рейтинга исследуемых систем.

1 этап. Таблица 1. Матрица исходных данных.

2 этап. Таблица 2. Матрица стандартизованных коэффициентов.

Значимость коэффициентов предполагается одинаковой, поэтому достаточно их возвести в квадрат, сложить по строкам и определить рейтинговые оценки (3 и 4 этапы).

Таблица 3. Матрица квадратов и рейтинговая оценка исследуемых систем.

4)Целью теории игр является выработка рекомендаций для удовлетворительного поведения игроков в конфликте и выявления для каждого из них оптимальной стратегии. Оптимальная стратегия – которая при многократном повторении игры гарантирует игроку максимально возможный средний выигрыш. Математическая теория игр исследует оптимальное значение в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений хозяйственных взаимоотношений между предприятиями различных форм собственности, между хозяйственными субъектами и коммерческими банками. Ситуацию можно представить как игру двух и более игроков, каждый из которых преследует цель получения максимальной прибыли за счет проигрыша другого. Важным элементом игры является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным. Отсюда игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а при бесконечной – функции выигрышей.

Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы (они требуют задания начальных приближений), а так же сведение задачи к системе дифференциальных уравнений. На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимального решения при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов и в вопросах качества продукции.

Например: ООО «Студент» производит продукцию двух видов: шкафы и гарнитуры мягкой мебели, сбыт которых зависит от производства конкурирующего предприятия. Затраты на производство и сбыт шкафов составляют 6500 руб. Гарнитура в мягкой мебели 7000 руб. Цена продажи шкафов равна 8500 руб., гарнитуров мягкой мебели 10000 руб. По данным наблюдений, ООО «Студент» может реализовать в течение одного месяца при одних условиях производства конкурента 500 шкафов и 300 гарнитуров мягкой мебели, а при других условиях 400 шкафов и 400 гарнитуров мягкой мебели.

Необходимо составить такой план выпуска ООО «Студент», что бы получить максимальную прибыль, независимо от выпуска конкурента. ООО «Студент» располагает в этих двух ситуациях стратегией А – 1-й вариант выпуска и стратегией В – 2-й вариант выпуска. Конкурент имеет две стратегии: С и D.

Матрица

Решение: ООО «Студент» выбирает стратегию А, а «Конкурент» – стратегию С, которая не противоречит сбыту данного предприятия и вся его продукция будет реализована, а, следовательно, предприятие получит прибыль.

Прибыль (АС)=500*2000+300*3000=1900000 руб.

Если ООО «Студент» выберет стратегию А, а «Конкурент» D, которая противоречит условиям сбыта ООО «Студент», данное предприятие может реализовать все мебельные гарнитуры, а шкафы будут реализованы в количестве только 400 штук и прибыль, с учетом затрат на производство непроданных изделий составит:

Прибыль(АD)=400*2000+300*3000–(500–400)*6500=1050000 руб.

Также определяется прибыль, если ООО «Студент» выбирает стратегию В, а «Конкурент» стратегию D, не противоречащую стратегии ООО «Студент»

Прибыль(ВD)=400*2000+400*2000=2000000 руб.

Если ООО «Студент» выбирает стратегию В и при этом «Конкурент» другую, противоречащую сбыту стратегию С, при которой ООО «Студент» не сможет полностью реализовать мебельные гарнитуры, то прибыль с учетом затрат на производство непроданных изделий составит

Прибыль(ВС)=400*2000+300*3000-(400-300)*7000=1000000 руб.

Обозначим частоту применения ООО «Студентом» стратегии А через х, поскольку вероятность колеблется от 0 до 1, а сумма вероятностей всегда равная 1, тогда частота применения ООО «Студент» стратегии В будет равна 1-х. Если ООО «Студент» принимает оптимальную смешанную стратегию, то независимо от стратегии «Конкурента», оно должно получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш).

1000000 меньше прибыль меньше 2000000

190000х+1000000 (1-х)=1050000х+2000000(1-х)

190х+100(1-х)=105х+200(1-х)

90х+100=-95х+200

185х=100

х=20/37 – частота применения варианта А

1-х=1-20/37=17/37 – частота применения варианта В

Составим план для определения среднего выигрыша:

-для выпуска шкафов

500*20/37+400*17/37=454 шт.

-для выпуска мягкой мебели

300*20/37+400*17/37=346 шт.

Теперь надо определить оптимальную программу, не зависящую от стратегии «Конкурента» D.

А В

454 400

346 400

400*2000+346*3000 – (454-400)*6500=1049000 руб.

Стратегия С

А В

500 454

300 346

454*2000+346*3000 – (346-300)*7000=1049000 руб.

Следовательно, оптимальная стратегия ООО «Студент» показывает, что при среднем выпуске 454 шт. шкафов и 346 гарнитуров мягкой мебели при любых стратегиях конкурента ООО «Студент» получит в среднем прибыль в сумме 1,49 млн. руб.

Поиск по сайту: