Что и требовалось доказать

1. Дайте определение многоугольника, выпуклого многоугольника. Запишите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. (п. 39-40)

Многоугольник – это геометрическая фигура, у которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)∙ 180 ̊.

2. Дайте определение параллелограмма. Сформулируйте свойства параллелограмма. Сформулируйте признаки параллелограмма. (п.42-43)

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмм:

1)В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1)Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2)Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3)Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

3. Сформулируйте теорему Фалеса. (№ 385)

Теорема (Фалеса). Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

4. Дайте определение треугольника, средней линии треугольника. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника. (п. 62)

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных отрезками.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельная одной из его сторон и равна половине этой стороне.

5. Дайте определение трапеции, прямоугольной трапеции, равнобедренной трапеции (п. 44). Сформулируйте свойства и признаки равнобедренной трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства равнобедренной трапеции:

1)В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2)В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Признаки равнобедренной трапеции:

1)Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2)Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

6. Дайте определение трапеции, средней линии трапеции. Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема. Средняя линия трапеция параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

7. Сформулируйте теорему Вариньона. (№567)

Теорема (Вариньона). Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

8. Дайте определение прямоугольника. Сформулируйте особое свойство прямоугольника. Сформулируйте признак прямоугольника. (п. 45)

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

9. Дайте определение квадрата, ромба. Сформулируйте особое свойства ромба. (п. 46)

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

10. Сформулируйте свойства площадей многоугольников. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника. (п. 48, 50)

Основные свойства площади многоугольников:

1)Равные многоугольники имеют равную площадь.

2)Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3)Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

11. Сформулируйте свойства площадей многоугольников. Сформулируйте теоремы о площади параллелограмма и площади треугольника. (п. 48, 51,52)

Основные свойства площади многоугольников:

1)Равные многоугольники имеют равную площадь.

2)Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3)Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

12. Сформулируйте следствия теоремы о площади треугольника (площади равностороннего и прямоугольного треугольников). (№ 489, п. 52)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле , где а – это сторона треугольника.

13. Сформулируйте теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу; по равной стороне; по равной высоте. (п. 52)

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся произведения сторон, заключающих равные углы.

14. Сформулируйте свойства площадей многоугольников. Сформулируйте теорему о вычислении площади трапеции. (п. 48, 53)

Основные свойства площади многоугольников:

1)Равные многоугольники имеют равную площадь.

2)Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3)Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

15. Дайте определение окружности, касательной к окружности, хорды, секущей к окружности, центрального и вписанного углов.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания к окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

16. Дайте определение вписанного и описанного многоугольника. Определите положение центра вписанной и описанной окружностей.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этой окружности.

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.

2. Геометрия. Основные вопросы.

17. Сформулируйте прямую и обратную теорему Пифагора. Докажите одну из них.(п. 54, 55)

Прямая:В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через с, а длины катетов через а и b:

а^2+b^2=c^2

Обратная: Для всякой тройки положительных чисел а, b и c, такой, что а^2+b^2=c^2

, существует прямоугольный треугольник с катетами a и и и гипотенузой с.

18. Укажите все формулы площади треугольника. Выведите одну из них.

S = 1/2(a · h)

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

S = 1/2a · b · sin γ (где γ угол между a и b)

S = (a · b · с)/4R (где R - радиус описанной окружности)

S = p · r (где p -полупериметр,а r - радиус вписанной окружности)

вывод первой формулы: Пусть дан треугольник АВС, достроим его до параллелограмма ABCD, Теугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC-общая, AB=CD, AC=BD как противоположные стороны параллелограмма), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, т. е. S=1/2AB*CH.

19. Дайте определение пропорциональных отрезков. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников. (п. 56, 57, 59)

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника

Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть AB/CD.Говорят, что отрезки AB и СD пропорциональны отрезкам DE и ME, если АВ/DE=CD/ME

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (http://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/priznaki-podobija-treugolnikov)

20. Дайте определение пропорциональных отрезков. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников. (п.56,57,60)

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (д-во ищи сам)

21. Дайте определение пропорциональных отрезков. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников. (п. 56, 57, 61)

Третий признак подобия треугольников: Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (д-во ищи сам)

22. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. Сформулируйте теорему об отношении периметров подобных треугольников. (п. 57, 58, №547)

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A=A1, то

S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1

(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k

поэтому: S/S1 = k2

Теорема доказанна

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересичения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересичения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечениявысот(или их продолжений). Эти точки называются замечательными точками треуголника

23. Дайте определение медианы треугольника. Сформулируйте свойства медиан треугольника. Как относятся площади треугольников, на которые делят данный треугольник его медианы? Какие точки называются замечательными точками треугольника? (п. 62, 72, 73)

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересичения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересичения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечениявысот(или их продолжений). Эти точки называются замечательными точками треуголника

24. Дайте определение биссектрисы угла. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла и её следствие. Какие точки называются замечательными точками треугольника? (п. 62, 72, 73)

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. (То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.)

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку биссектрисы неразвернутого угла A, проведем перпендикуляры MH и MK (рис. 109).

Прямоугольные треугольники AMH и AMK равны по гипотенузе и острому углу (AM – общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MH = MK. Теорема доказана.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересичения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересичения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечениявысот(или их продолжений). Эти точки называются замечательными точками треуголника

25. Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку и её следствие. Какие точки называются замечательными точками треугольника? (п. 62, 72, 73)

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку серединного перпендикуляра a к отрезку AB и докажем, что AM = BM.

Если точка M совпадает с серединой O отрезка AB, то справедливость равенства AM = BM очевидна. Если же M и O – различные точки, то прямоугольные треугольники OAM и OBM (рис. 107) равны по двум катетам, поэтому AM = BM. Теорема доказана.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересичения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересичения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечениявысот(или их продолжений). Эти точки называются замечательными точками треуголника

26. Дайте определение высоты треугольника. Сформулируйте и докажите свойство высот треугольника. Какие точки называются замечательными точками треугольника? (п. 62, 72, 73)

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Теорема:
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем,что прямые АА1,ВВ1 и СС1,содержащие его высоты пересекаются в одной точке.

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А,В и С являются серединами сторон этого треугольника. Ведь АВ=А2С и АВ =СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С=СВ2. Кроме того как следует из построения СС1 перпен. А2В2, АА1 перпен. В2С2 и ВВ1 перпен. А2С2. Таким образом,прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке.

27. Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему Чевы.

Джованни Чева (Ceva Giovani, 1648-1734) – итальянский инженер и математик. Окончил университет в Пизе. Основные его труды – работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в 1678 году.

Теорема (теорема Чевы). Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда

(обходим треугольник по часовой стрелке).

Доказательство. Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем

и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

28. Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Доказательство. Проведем через точку прямую, параллельную . Обозначим через ее точку пересечения с прямой .

Треугольники и подобны (). Следовательно,

Треугольники и также подобны (). Значит,

Из каждого равенства выразим :

откуда

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник . Пусть точка лежит на стороне , точка – на стороне , а точка – на продолжении стороны , причем выполняется соотношение

Тогда точки и лежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что , поскольку, по условию, это выражение равно . Следовательно, прямые и не параллельны.

Проведем прямую через точки и . Она пересечет прямую в некоторой точке . Для точек и справедлива теорема Менелая, так что

Отсюда следует, что

Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше , а левее оно строго больше . Пусть . Тогда, учитывая, что и , перепишем полученное равенство в виде

Из равенства следует, что , и доказано, что точка , совпадающая с , лежит на прямой .

29. Дайте определение биссектрисы треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника. (№ 535)

Биссектриса треугольника, это отрезокбиссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.

Теорема:

что и требовалось доказать.

30. Дайте определение пропорциональных отрезков. Сформулируйте и докажите обобщённую теорему Фалеса. (№556)

Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть .

Говорят, что отрезки AB и СD пропорциональны отрезкам и , если

.

^ Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

что и требовалось доказать.

31. Дайте определение среднего геометрического двух отрезков. Сформулируйте и докажите теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. (п. 63, №574).

32. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Докажите основное тригонометрическое тождество. (п. 66)

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Теперь докажем справедливость основного тригонометрического тождества: . Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По теореме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2,поэтому

33. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30 ,45 ,60 . (п. 67)

34. Дайте определение касательной к окружности. Сформулируйте и докажите теорему о касательной к окружности и радиусе, проведенном в точку касания (свойство касательной к окружности). (п. 69)

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

35. Дайте определение касательной к окружности. Сформулируйте и докажите теорему о прямой, проходящей через конец радиуса, лежащего на окружности, перпендикулярно к этому радиусу (признак касательной к окружности). (п. 69)

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

36. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему о величине вписанного угла. (п. 70, 71)

· Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

· Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

ТЕОРЕМА

Пусть — вписанный угол окружности с центром , опирающийся на дугу . Докажем, что . Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч совпадает с одной из сторон , например со стороной . В этом случае дуга меньше полуокружности, поэтому . Так как — внешний угол равнобедренного , а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это , значит их сумма равна , a . Отсюда следует, что .

2. Луч делит на два угла. В этом случае луч пересекает дугу в некоторой точке . Точка разделяет дугу на две дуги: и . По доказанному в п.1 и . Складывая эти равенства почленно, получаем: , или .

3. Луч лежит вне . В этом случае дуга составляет часть дуги . По доказанному в п.1 и . . Т.к. дуга , то .

37. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте следствия теоремы о величине вписанного угла. (п. 70, 71)

Следствия:

1.Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,равны

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой

38. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков двух хорд. (п. 70, 71)

1. Теорема: Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

2. Доказательство: Пусть хорды пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольники СМВ и AMD. (угол ВСМ=МAD т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу DB. И угол СМВ =АМD. По первому признаку подобия: СМ/АМ = ВМ/MD. Следовательно AM•MB = CM•MD. Ч.т.д.

39. Сформулируйте и докажите теорему о медиане, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника (прямую и обратную).

Медина в прямоугольном треугольнике. Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Доказательство.

Проведём прямую CD ║ AB. Продолжим AO за точку O так, что

Рассмотрим треугольники и :

эти треугольники равны (по второму признаку) => как соответствующие элементы равных треугольников.

, так как AB ║ CD и . Рассмотрим треугольники и : они равны по двум катетам ( , AC - общий) => как соответствующие элементы равных треугольников => в : => медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

40. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате касательной. (п. 70, 71, №670)

Поиск по сайту: