Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть

Теорема о квадрате касательной

Доказательство: Проведём отрезки АК и ВК (см. рисунок). Треугольники АКМ и ВКМ подобны: угол М у них общий, а углы АКМ и В равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги АК. Следовательно, MK/MA = MB/MK, или MK² = MA·MB.

Теорема доказана.

41. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему о двух секущих. (п. 70, 71, № 672)

42. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему об угле между касательной и хордой. (№664)

43. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему об угле между пересекающимися хордами. (№ 718)

44. Дайте определение центрального и вписанного углов. Сформулируйте и докажите теорему об угле между секущими. (№719)

45. Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник. Сформулируйте и докажите теорему о том, можно ли в треугольник вписать окружность, и сколько их может быть. (п. 74)

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность и только одну!

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

46. Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве сторон описанного четырёхугольника. (п. 74)

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема: в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

47. Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник. Сформулируйте и докажите теорему о том, в какой четырёхугольник можно вписать окружность. (п. 74, №724)

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Обратная просто

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

48. Дайте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему о том, можно ли около треугольника описать окружность, и сколько их может быть. (п. 75)

Если все вершины многоугольника лежат на окружности,то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность.

О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство:

Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=OB=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Замечание.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

49. Дайте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве углов вписанного четырёхугольника (о сумме противолежащих углов). (п. 75)

Если все вершины многоугольника лежат на окружности,то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равно 180 градусов.

Доказательство: по-моему это самое изи доказательство, поэтому на этом вопросе я чутка погамал в кс:го (ксс слетела, т.к. обнова не правильно встала). Но мы не об этом.

Противоположные углы опираются на две разные дуги, которые образуют окружность. А окружность равна 360 градусам. Угол равен ½ дуги (хрена се я знак дроби сделал))). Кароч если сложить эти углы и вынести ½,то в скобочках останется сумма дуг (которые и образуют окружность это и так ясно) и получится ½ × 360 =180ᵒ (из символов градусы вставил) (а ещё так могу ᶋ)

50. Дайте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве углов вписанного четырёхугольника (о равенстве углов между диагоналями и прилежащими сторонами).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности,то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорему нигде не нашёл =/

51. Дайте определение окружности, описанной около многоугольника. Сформулируйте и докажите теорему о том, около какого четырёхугольника можно описать окружность. (п. 75, №729)

Теорема: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180ᴼ,то около него можно описать окружность.

Итак, мы получили, что ∠A+∠C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.

52. Сформулируйте и докажите теорему о площади описанного многоугольника. (№697)

Часть 3. Алгебра

1 Функция и её график.

2. Арифметический квадратный корень. Квадратный корень из произведения, дроби и степени.

3. Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения в общем виде.

4. Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом.

5. Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Теорема Виета.

6. Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Следствия теоремы Виета (А+В+С=0, А+С=В).

7. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

8. Определение степени с целым отрицательным показателем. Свойства степени с целым показателем. Графики функций y=x-1, y=x-2

9. Стандартный вид числа.

10. Функция. Область определения и область значений функции.

11. Дробно-линейная функция и ее график.

12. Обратная пропорциональность и ее график.

13. Параллельный перенос графиков функций.

14. Растяжение и сжатие графиков функций.

Поиск по сайту: