Обработка Результатов наблюдений при косвенных измерениях

Косвенным называется измерение, при котором значение искомой величины находят на основании известной зависимости, связывающей её с другими величинами, которые определяются прямыми измерениями. Обозначим искомую величину , а величины, подвергаемые прямым измерениям , , …, Связь между нами задана в явном виде

, (3)

где F – известная функциональная зависимость

В данной расчётной работе предлагается один из способов обработки результатов наблюдений при косвенных измерениях.

Пусть при прямых измерениях для каждой из величин , , …, получена группа результатов наблюдений. Процедура обработки состоит из следующих этапов.

Ⅰ. По результатам наблюдений при прямых измерениях величин , , …, рассчитываются выборочное среднее и оценка среднего квадратического отклонения случайной погрешности для всех величин , , …, подвергаемых прямым измерениям.

(4)

j = 1,…,m

, (5)

j = 1,…,m

где n – число результатов наблюдений

, , …, - результаты полученные при прямых измерениях величины (Приложение Ⅰ). В дальнейшем индекс j при величинах , и т. д. будем опускать.

2. Вычислить оценки среднего квадратического отклонения выборочного среднего

(6)

3. Проверить гипотезу о том, что случайная погрешность подчиняется нормальному распределению.

В случае если 15 < n < 50 проверка осуществляется по двум критериям. Гипотеза о нормальности принимается только в том случае, если она принята, как по первому, так и по второму критериям.

Первый критерий.

По наблюдениям вычисляют величину

(7)

, (8)

Гипотеза о нормальности принимается если

, (9)

где =0,02 - 0,1 – вероятность ошибки 1 рода (уровень значимости) и находятся по и n из таблицы 1 (Приложение 2)

Второй критерий

Из таблицы 2 (Приложение 2) по заданным n и определяют два числа и m Гипотеза о нормальности принимается, если не более m разностей превосходят , где S рассчитывается по формуле (5), - квантиль нормированной функции Лапласа

См. таблицу 3 (Приложение 2)

Гипотеза о нормальности принимается только в том случае, если для проверяемой группы результатов наблюдений выполняются оба критерия. Уровень значимости составного критерия , где , - уровни значимости для 1 и 2 критерия соответственно.

4. Определить наличие грубых погрешностей, и если последние обнаружены, соответствующие результаты отбросить и повторить вычисления. Сначала следует проверить, не являются ли максимальное и минимальное значения выборки результатами наблюдений с грубыми погрешностями. Приведем критерий такой проверки. Если U<П, то результатов наблюдений с грубыми погрешностями в выборке нет, если U>П, то максимальный или минимальный член (в зависимости от того, который из них обеспечивает наибольшее значение U) является результатом наблюдений с грубой погрешностью.

Здесь

, (10)

и S рассчитываются по формулам (4) и (5) соответственно ;

- квантили распределения, приведенные в зависимости от (1-q) и n в таблице 4 Приложения 2.

После проверки по указанному критерию результат наблюдений с грубой погрешностью устраняют из выборки и вновь повторяют всю процедуру. Так действуют до тех пор, пока все результаты наблюдений с грубыми погрешностями не будут устранены.

5. Определить оценку величины . Обозначим оценку величины . Поскольку выборочные средние , ,… являются оценками величин , ,… , входящих в формулу (3) обозначим их , ,… . Тогда оценку величины можно определить по формуле

. (11)

6. Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результатов многократных измерений для всех величин , ,… , подвергаемым прямым измерениям и входящим в зависимость (3)

Доверительную границу (без учёта знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

, , (12)

где - квантиль распределения Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности и числа результатов наблюдений находят по таблице 5 Приложение 2

7. Вычислить доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП) результатов измерений для каждой величины , ,… НСП результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть НСП метода, средств измерений, а также вызванные другими источниками. При суммировании составляющих НСП результата измерения все они рассматриваются, как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения этих случайных величин их распределения принимают за равномерные. Доверительную границу НСП результата измерения при равномерном распределении НСП (без учёта знака) можно вычислить по формуле

,

, , (13)

где - граница j – ой НСП

- коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом составляющих НСП (таблица 6,

Приложение 2)

Доверительную вероятность для вычисления доверительной границы НСП принимают той же, что и при вычислении доверительной границы случайной погрешности результата измерения.

8. Вычислить доверительные границы погрешности результатов измерений каждой величины , ,…

Если принять, что погрешность от пренебрежения систематической составляющей погрешности результата измерения не должна превышать 15%, то получим предельные отношения . В зависимости о доверительной вероятности , эти отношения равны

0,90 0,95 0,99

1,2 1,1 1,1

Если пренебречь случайной составляющей, ориентируясь на ту же погрешность 15%, то

0,90 0,95 0,99

3 4 7

Таким образом, если , то с достаточной уверенностью можно пренебречь систематической, а если - можно пренебречь случайной составляющей погрешности результата измерения.

Если при заданной доверительной вероятности , то границу погрешности результата измерения (без учёта знака) можно вычислить по формуле

, (14)

где

, (15)

, (16)

9. Вычислить значения частных производных при найденных ранее (см. п.5) оценках величин , ,… .

10. Определить доверительную границу погрешности результата косвенного измерения по формуле

, (17)

11. Определить относительную погрешность результата косвенного измерения величины по формуле

, (18)

12. Результат косвенного измерения записывается в виде

(19)

Доверительную границу погрешности , а также и следует выражать одной или двумя значащими цифрами. Две цифры оставляют при наиболее точных измерениях, а также в тех случаях, когда цифра старшего разряда числа, выражающего погрешность, меньше или равна трем. Отметим, что в промежуточных выкладках при расчете погрешностей нужно удерживать три-четыре значащих цифры. Результат косвенного измерения необходимо округлять так, чтобы его значение оканчивалось цифрой того разряда, что и после округления.

Поиск по сайту: