Визначення теперішньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Однією із форм визначення часової вартості грошових потоків на противагу компаундуванню є дисконтування (англ. - discounting).

Дисконтування є фінансово-математичною моделлю визначення поточної (теперішньої) вартості грошових потоків, надходження яких, як очікується, матиме місце у майбутньому протягом певного планового періоду. Теперішня вартість майбутніх грошових потоків визначається шляхом приведення – дисконтування на величину процента, який міг би бути заробленим у випадку, коли б грошові кошти були доступні для їх використання на момент оцінювання. Отже, теперішня вартість майбутнього грошового потоку дорівнює абсолютній величині грошових коштів, інвестування якої на прийнятих для дисконтування умовах через визначений проміжок часу дало б вартість, еквівалентну вартості майбутнього грошового потоку, що аналізується. Такий підхід дає можливість фінансовому менеджеру, так само, як і у разі компаундування, отримати зіставні абсолютні величини вартості грошей для прийняття адекватних управлінських рішень щодо інвестування.

Практичне застосування дисконтування для визначення приведеної теперішньої вартості грошових потоків вимагає відповідної фінансово-математичної формалізації моделі дисконтування – визначення абсолютної величини дисконту. Залежно від потреб аналізу грошових потоків та зміни їх вартості у часі можуть використовуватися такі моделі дисконтування:

· просте дисконтування;

· дисконтування ануїтетів (відстроченої або авансової ренти).

Під простим дисконтуванням (single discounting) розуміється фінансово-математична модель розрахунку приведеної вартості майбутнього грошового потоку, отримання якого, як очікується, відбудеться одноразово через чітко визначений період. Результатом простого дисконтування є приведена теперішня вартість (present value, або PV) окремого майбутнього грошового потоку.

Процеси компаундування і дисконтування тісно взаємозв’язані один з одним. Визначення поточної вартості (дисконтування) є прямою протилежністю компаундуванню. Таким чином, якщо нам відомий показник майбутньої вартості грошей (FV), то за допомогою дисконтування ми можемо розрахувати їх теперішню вартість (PV).

Оскільки оцінка майбутньої вартості грошових потоків із використанням простого процента відповідає формулі (4.2)

FV = PV ^. (1 + n ^. i),

то дисконтування майбутніх грошових потоків із використанням простого процента відповідає такій формулі:

FV

РV = --------------, (4.12)

(1 + n ^. i)

де: РV – приведена теперішня вартість майбутнього грошового потоку;

FV – абсолютна величина майбутнього грошового потоку;

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Оскільки майбутня вартість наявних грошових коштів у разі використання складного процента визначається за формулою (4.3):

FV = РV ^. (1 + i)ⁿ,

то приведена теперішня вартість майбутніх грошових потоків при використанні складного процента визначається за такою формулою:

FV 1

РV = ----------- = FV ^. (-------)ⁿ. (4.13)

(1 + i)ⁿ 1 + i

Можна визначити теперішню вартість майбутнього грошового потоку із використанням фінансової таблиці А-3, яка містить абсолютне значення ставки дисконтування, виходячи із рівня процентної ставки та кількості інтервалів у плановому періоді.

Частина рівняння (4.13), взята в дужки, називається фактором процента поточної вартості FVIF.

Таким чином, якщо

1 ⁿ

FVIFА_i,n = (-----),

1 + i

то формула (4.13) матиме вигляд:

FV = FV ^. (FVIF_i,n). (4.14)

де: FVIF_i,n – абсолютне значення ставки дисконтування;

i – процентна ставка;

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

Приклад 4.6. Яку суму грошей повинен покласти и підприємець у банк на депозитний рахунок у поточний момент часу, якщо за процентної ставки 5% за умови нарахування складного процента через п’ять років він планує отримати 127,63 гр. од.?

Розв’язок.

Як бачимо, приклад 4.6 і приклад 4.2 мають дещо спільне: процентна ставка і термін, на який кладуться гроші на депозит, - однакові. Проте в прикладі 4.2 визначена сума, яку підприємець має покласти и на депозит, є заданою, а в прикладі 4.6 ми повинні визначити цю суму. У прикладі 4,6 задається очікувана сума через п’ять років, а в прикладі 4.2, навпаки, саме ця сума невідома. Отже, приклад 4.6 є оберненим до прикладу 4.2.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, визначимо суму, яку необхідно покласти на депозит сьогодні:

РV = 127,0 ------------ = 127,0 ^. 0,7835 = 100 гр. од.

(1 + 0,05)⁵

Дисконтування грошових потоків застосовується також за необхідності оцінювання поточної вартості цінних паперів, об’єктів нерухомості, що плануються до продажу у майбутньому.

Приклад 4.7. Підприємець має цінний папір, який надає йому право на отримання після двох років 1000 гр. од. Річна вартість грошей на ринку капіталу сьогодні становить 16%. Скільки коштує цей цінний папір сьогодні?

Розв’язок.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, маємо вартість цінного папера на сьогодні:

РV = ------------ = 1000 ^. 0,7432 = 1743,2 гр. од.

(1 + 0,16)²

Різноплановість руху грошових коштів у результаті підприємницької діяльності створює ситуацію, коли застосування простого дисконтування для оцінки приведеної вартості майбутніх грошових потоків є недостатнім. Передусім це стосується оцінки грошових потоків, які виникають протягом усього періоду із певною періодичністю, тобто ануїтетів (ренти).

Якщо припустити, що абсолютна величина грошових потоків протягом періоду, який аналізується, однакова і постійна, тобто умови ануїтету передбачають рівність окремих грошових потоків, формула теперішньої вартості ануїтету матиме вигляд:

(1 + i)ⁿ – 1 (1 + i)ⁿ 1

FVА _n = PМТ ^. (--------------) = PМТ ^. (---------- - -----------) = (4.15)

і ^. (1 + i)ⁿ і ^. (1 + i)ⁿ і ^. (1 + i)ⁿ

1 1

= PМТ ^. (--- - -----------),

і і ^. (1 + i)ⁿ

де: FVА _n – теперішня вартість ануїтету;

PМТ – абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів);

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Різниця в дужках рівняння (4.15) називається фактором процента поточної вартості ануїтетів (PVIFА_i,n). Фактор процента поточної вартості ренти – це показник ануїтетів за n –ну кількість періодів, дисконтований на i процента.
У фінансових таблицях А-4 обчислено значення цього показника для різних n та i.

1 1

PVIFА_n = (--- - -----------).

і і ^. (1 + i)ⁿ

Тоді рівняння (4.15) матиме вигляд:

PVА_n = PМТ ^. FVIF_i,n. (4.16)

Фінансово-математична модель визначення теперішньої вартості ануїтетів застосовується для обчислення постійних рівних виплат з погашення кредиту, орендних платежів за користування активами підприємства, для порівняння теперішньої вартості цінних паперів, які дисконтуються під різні процентні ставки та приносять власникові певний щорічний дохід, для визначення суми, яку необхідно покласти на депозит за умови вилучення з рахунка кожного року однакової суми грошей.

Приклад 4.8. Яку суму підприємець має покласти на депозит сьогодні під 10% річних, щоб протягом п’яти років щорічно знімати з рахунка по 300 гр. од.?

Розв’язок.

Ідеться про дисконтування ануїтетів на суму 300 гр. од. протягом п’яти років. Скористаємося формулою визначення теперішньої вартості ануїтетів (4.15), (4.16) та даними таблиці А-4.

PVА_n = PМТ ^. FVIFА_10%, = 300 гр. од. ^. 3,7908 = 1137 гр. од.

За результатами застосування табличного способу вирішення задачі маємо, що вклад у розмірі 1137 гр. од. дає змогу інвестору протягом п’яти років у кінці кожного року знімати з рахунка по 300 гр. од. за умови нарахування банком складного процента у розмірі 10% річних. Перевіримо правильність результату арифметично, звівши розрахунки у табл. 4.5.

Таблиця 4.5

Поиск по сайту: