Основні поняття і аксіоми стереометрії

Розділ геометрії, в якому вивчають фігури у просторі, називається стереометрією. Поняття точки, прямої і площини в стереометрії первісні, не означувані. У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рівною і гладенькою, що не мас ніякої товщини. В планіметрії розглядають тільки одну площину. В стереометрії доводиться розрізняти багато площин.
Зображають площини у вигляді паралелограмів або кусків площини, обмежених довільними замкненими лініями. Позначають їх звичайно грецькими буквами α, β, γ, δ тощо.
У стереометрії вивчаються властивості як плоских геометричних фігур, так і неплоских. Фігура називається неплоскою (просторовою), якщо не всі її точки лежать в одній площині. Приклади неплоских фігур: куб, конус, куля.
Сформулюємо аксіоми, що виражають основні властивості точок, прямих і площин у просторі.
1. Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.
2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то пряма, шо проходить через них. лежить у цій площині.
3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Наслідок 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній. можна провести площину, і до того ж тільки одну. (рис. 11)

Наслідок 2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідок 3. Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до тог ж тільки одну.

Паралельність прямих і площин

Якщо дві прямі лежать в одній площині, вони перетинаються або паралельні. У стереометрії можливий третій випадок. Наприклад якщо ABCD - тетраедр, то прямі AB і CD не перетинаються і не паралельні. Вони не лежать в одній площині.
Означення 1. Дві прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.
Два відрізки називаються мимобіжними, якщо вони лежать на мимобіжних прямих.

При взаємному розміщенні прямої і площини можливими є такі випадки: пряма належить площині, пряма і площина мають слину спільні точку, пряма й площина не мають спільних точок.
Означення 2. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.
Теорема 1 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. (рис. 13)

Означення 3. Дві площин називаються паралельними, якщо еони не мають спільних точок.
Якщо площини α і β паралельні, позначають: α║β

Теорема 2 (ознака паралельності площин). Якщо дві прямі перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні.

Властивості паралельних площин:
1. Паралельні площині! перетинаються січною площиною по паралельних прямих.
2. Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні.
3. Два кути з відповідно паралельними і однаково напрямленими сторонами рівні і лежать в паралельних площинах.

Поиск по сайту: