Енергія, робота сили та потужність

Робота та енергія

Енергія - це універсальна кількісна міра руху та взаємодії усіх без винятку видів матерії. Енергія - величина скалярна. У відповідності до окремих форм руху матерії відрізняють і різноманітні види енергії: механічну, електромагнітну, хімічну, ядерну і т. д.

Кількісна оцінка процесу обміну енергією між взаємодіючими тілами в механіці проводиться з допомогою параметра, який отримав назву - робота сили.

Нехай тіло, рухаючись під дією зовнішньої сили по довільній траєкторії від точки 1 до точки 2, виконало деяку роботу A (див. рис 4.1). Коли діюча на тіло сила неоднакова в різних точках траєкторії руху тіла, тоді весь шлях слід розбити на елементарні відрізки так, щоб на кожному з них силу F_і можна було б вважати постійною.

Рис. 4.1.

На цьому елементарному відрізку тіло зробило нескінченно мале переміщення , модуль якого за цих умов дорівнює шляху dS. Тоді роботою сили dA на цьому відрізку шляху буде називатися скалярний добуток:

, (4.1)

Розкривши скалярний добуток, маємо:

, (4.2)

де a_і - кут між векторами F_і та dr.

З рівняння (4.2) можна зробити висновок: якщо a < p/2, тоді робота сили додатна, якщо a > p/2, тоді робота сили від'ємна.

У випадку, коли a = p/2, робота сили завжди дорівнює нулю, незалежно від значення сили та шляху, пройденого тілом.

, (4.3)

Потужність - це фізична величина, що визначає швидкість виконання роботи. Середня потужність дорівнює відношенню роботи сили DA до проміжку часу Dt, за який вона виконана:

, (4.4)

Миттєва потужність дорівнює границі середньої потужності за умов, що Dt® 0:

(4.5)

Таким чином миттєва потужність дорівнює першій похідній за часом від роботи сили.

За допомогою формули (4.1) вираз (4.5) перетворимо до такого вигляду:

,

Тобто миттєва потужність дорівнює скалярному добутку сили, що діє на тіло в даний час, на швидкість, з якою воно рухається.

Якщо потужність деякої сили не є постійною, а буде змінюватись з часом t, то робота сили у цьому випадку буде визначатись з урахуванням співвідношення (4.5) таким чином:

, (4.6)

У міжнародній системі СІ робота сили вимірюється у джоулях: [А] = [F S] = [Н м] = [Дж], а потужність у ватах: [N] = [A/t] = [Дж/c] = [Вт].

Кінетична енергія тіла є мірою його механічного руху та визначається роботою, яку необхідно виконати, щоб отримати даний стан тіла.

Тобто:

, (4.7)

Обчислимо роботу, яку виконує прикладена до тіла масою m сила F при переміщенні тіла з початкової точки 1 в кінцеву 2 та зміні його швидкості руху від 0 до V (див. рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Для визначення цієї роботи dА скористаємося скалярною формою запису другого закону Ньютона та врахуємо, що а = dV/dt.

Тоді з виразу (4.2) отримаємо:

,

Врахувавши, що dS/dt = V, маємо:

,

Інтегруємо це співвідношення у межах від 0 до V:

, (4.8)

З цього виразу неважко зробити висновок, що чисельне значення кінетичної енергії ніколи не буде від’ємним та буде неоднакове у різних системах відліку, бо модуль швидкості тіла залежить від вибору системи відліку.

З урахуванням всього вище наведеного можна зробити висновок, що зміна кінетичної енергії тіла дорівнює повній роботі діючих на нього сил:

, (4.9)

Кінетична енергія має ті ж самі одиниці виміру, що і робота сили, тобто у системі СІ вимірюється у джоулях.

Потенціальними називають поля, в яких робота діючих сил не залежить від форми траєкторії та закону руху по ній тіла, а визначається його початковим та кінцевим положенням (див. рис. 4.3).

Прикладом консервативних сил можуть бути гравітаційні та електростатичні сили. У протилежному випадку поля називаються непотенціальними, а сили, що в них діють - дисипативними.

Рис. 4.3.

Роботу консервативних сил можна уявити у вигляді різниці двох параметрів U₁ та U₂, значення яких залежить від початкового і кінцевого положення тіла:

A= U₁ - U₂ = -(U₂ - U₁) = -∆U, (4.10)

Або у диференціальній формі:

dA = - dU, (4.11)

Параметр U_і в цій формулі і називається потенціальною енергією тіла.

Знак мінус у цих формулах означає, що робота консервативних сил, які прикладені до тіла, здійснюється за рахунок зменшення його потенціальної енергії.

Потенціальна енергія тіла визначається роботою, яку необхідно здійснити проти консервативних сил потенціального поля для того, щоб перемістити тіло з початкового положення, де значення енергії вважається рівним нулю, в кінцеве.

Значення потенціальної енергії можна визначити тільки з точністю до сталої. Дійсно, якщо в формулі (4.10) до кожного з значень U_і додати довільну сталу, то рівність збережеться.

dA = F_X dX,

Порівняння правих частин вище приведеного виразу та виразу (4.11) дає:

Рис. 4.5.

, (4.12)

У випадку руху тіла в просторі рівняння (4.12) має такий вигляд:

, (4.13)

Вище наведений оператор, що знаходиться у дужках, називається градієнтом скалярної величини:

, (4.14)

Тобто сила, що діє на тіло у потенціальному полі, дорівнює градієнту його потенціальної енергії з протилежним знаком:

, (4.15)

Якщо механічна система складається з декількох тіл, то потенціальна енергія такої системи дорівнює сумі потенціальних енергій окремих тіл цієї системи.

Конкретний вигляд функції, що визначає значення потенціальної енергії, залежить від характеру силового поля.

1). Потенціальна енергія тіла у гравітаційному полі.

Нехай тіло масою m завдяки силі F підіймається вгору на висоту h (див. рис. 4.4). Сила F здійснює роботу проти сили тяжіння, тобто:

F = - P = - mg.

Тоді згідно з (4.11) маємо: - mg dx = - dU,

Інтегруємо це рівняння у відповідних границях від 0 до h та отримаємо:

2). Потенціальна енергія пружно деформованого тіла.

Рис. 4.4.

Нехай до стрижня, що закріплений одним з кінців, прикладена деяка сила F. Під дією цієї сили стрижень пружно деформується (див. рис. 4.5).

У цьому випадку сила F здійснює роботу проти сили пружності і дорівнює:

F = - F_упр = -(- k x) = k x,

де х – подовження стрижня, k - модуль пружності речовини стрижня.

Інтегруємо це співвідношення у межах від 0 до Х:

, (4.17)

У цілому можна сказати, що кінетична енергія - це енергія руху, а потенціальна - це енергія взаємодії.

Потенціальна енергія може мати як додатне так і від’ємне значення і має такі ж самі одиниці виміру у системі СІ, що й робота.

Поиск по сайту: