 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Неравенство Чебышева
Пусть у случайной величины Х определено 
, то для любого 
верно неравенство:
.
Для относительной частоты 
события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, неравенство Чебышева примет вид
.
Пример 1. Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероятность отклонения относительной частоты выпадения 6 очков от вероятности этого события (по модулю) на величину, меньшую, чем 0,02.
Решение. Исходя из неравенства Чебышева, имеем
Пример 2. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оценить вероятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших будет заключено в пределах от 300 до 380.
Решение. Случайная величина Х – число взошедших семян имеет биноминальное распределение 
. Тогда по неравенству Чебышева имеем
Задача 1
| 1. | На сельскохозяйственные работы из трех бригад выделяют по одному человеку. Известно, что в первой бригаде 15 человек, во второй – 12, в третьей – 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если известно, что на сельскохозяйственные работы может быть отправлен каждый рабочий. |
| 2. | Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде. |
| 3. | Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день? |
| 4. | Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку? |
| 5. | В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий? |
| 6. | На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй – 28 и в третьей – 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации. |
| 7. | Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено? |
| 8. | Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется? |
| 9. | В пассажирском поезде 5 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд? |
| 10. | Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно быть выбрано 3. Определить все возможные варианты результатов выборов. |
| 11. | Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады? |
| 12. | Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что любые три из них не лежат на одной прямой? |
| 13. | Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного офицера, если имеется 20 солдат и 3 офицера? |
| 14. | Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования? |
| 15. | Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек? |
| 16. | Сколькими различными способами собрание, состоящее из 20 человек, может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря? |
| 17. | Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек? |
| 18. | Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)? |
| 19. | Сколькими способами можно смоделировать флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов? |
| 20. | Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов? |
| 21. | При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было сделано при этом? |
| 22. | Сколькими способами можно выставить на игру футбольную команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, если всего в команде 6 нападающих, 3 полузащитника, 6 защитников и 1 вратарь? |
| 23. | Профсоюзное бюро факультета, состоящее из 9 человек, на своем заседании должно избрать председателя, его заместителя и казначея. Сколько различных случаев при этом может быть? |
| 24. | Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета», чтобы все они начинались с буквы «р»? |
| 25. | Автоколонна, состоящая из 15 автомобилей, должна выделить на уборочные работы в колхозы 12 грузовиков. Сколькими способами можно это сделать? |
| 26. | На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов участвовало в турнире? |
| 27. | На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда? |
| 28. | Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.) |
| 29. | В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было 5 черных? |
| 30. | Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на «хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им оценки? |
| 31. | Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя? |
| 32. | Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? |
| 33. | Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести. |
| 34. | Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной? |
| 35. | Из группы в 10 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты? |
| 36. | Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться любые места, занятые членами этой команды? |
| 37. | Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно? |
| 38. | Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН? |
| 39. | В конкурсе по трем номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределение призов, если по каждой номинации установлены различные призы? |
| 40. | Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия? |
Задача 2
| 1. | Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «песня». В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 2. | Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 3. | Из 10 билетов лотереи выигрышными являются 3. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 билета – выигрышные. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 4. | В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 5. | В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 6. | Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 7. | Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех книг хотя бы одна художественная. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 8. | На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования? В ответ записать число, имеющее один знак после запятой без округления. |
| 9. | В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными? В ответ записать число, имеющее один знак после запятой без округления. |
| 10. | Шесть студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 6 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если возможности в размещении студентов по вагонам равновероятны? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 11. | Билеты лотереи выпущены на общую сумму 10 000 у.е. Цена билета 0,5 у.е. Ценные выигрыши падают на 50 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 12. | В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один – мастер спорта. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 13. | Из 25 билетов, пронумерованных числами от 1 до 25, наугад вынимают один. Найти вероятность того, что номер извлеченного билета есть число, не делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 5. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 14. | Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 15. | Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 3 сектора с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 16. | Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 17. | За выполнение контрольной работы 24 студента получили следующие оценки: 8 студентов – «отлично», 6 – «хорошо», 6 – «удовлетворительно», 4 – «неудовлетворительно». Найти вероятность того, что работа наугад взятого студента оценена положительно. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 18. | Подбросили 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпал герб. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 19. | Из коробки, содержащей карточки с буквами «о», «н», «к», «ь», наугад вынимают одну карточку за другой и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность того, что в результате получится слово «конь»? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 20. | Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся только две помеченные щуки? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 21. | Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5). В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 22. | Из пяти карточек с буквами «а», «б», «в», «г», «д» наугад одну за другой выбирают две и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получится слово «да»? В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 23. | В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что извлеченные наугад два шара окажутся черными? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 24. | Мальчик забыл две последние цифры номера телефона одноклассника и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 25. | В урне 5 шаров: красный, желтый, синий, зеленый и белый. Случайным образом их вынимают из урны. Найти вероятность того, что они будут извлечены в следующем порядке: белый, синий, желтый, красный, зеленый. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 26. | После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошел между 50-м и 55-м километрами линии? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 27. | В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из них нуждаются в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в настройке? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 28. | В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых по жребию распределяют в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что два сильнейших шахматиста будут играть в разных группах. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 29. | В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 исправных радиоприемника? В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 30. | В автобусе 4 пассажира. Найти вероятность того, что на четырех оставшихся до конечной остановках будет выходить по одному человеку, если каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой остановке. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 31. | Зенитная батарея, состоящая из трех орудий, ведет огонь по двум самолетам. Каждое орудие выбирает цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по одной и той же цели. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 32. | Из 10 деталей, находящихся в ящике, 8 стандартных. Найти вероятность того, что из 6 наугад взятых деталей 4 окажутся стандартными. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 33. | В студенческой группе из 20 человек к практическому занятию готовы 18 человек. Преподаватель вызвал четырех студентов. Найти вероятность того, что они подготовлены к занятию. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 34. | Подбросили две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков кратна 2. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 35. | Даны целые числа от 11 до 19. Найти вероятность того, что квадрат наугад взятого числа оканчивается цифрой «6». В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 36. | Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 200. Найти вероятность того, что номер первого извлеченного жетона не содержит цифру «7». В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления. |
| 37. | Лифт отправляется с тремя пассажирами и останавливается на восьми этажах. Найти вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 38. | В группе 15 студентов, среди которых 4 получают повышенную стипендию. По списку наугад отобрано 6 человек. Найти вероятность того, что трое среди них получают повышенную стипендию. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 39. | В урне 24 шара, из них 18 красных и 6 черных. Наугад извлекли два шара. Найти вероятность того, что оба шара – черные. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
| 40. | Из 8 книг, находящихся на полке, 6 учебников. Найти вероятность того, что взятые наугад 3 книги будут учебниками. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления. |
Задача 3
| 1. | В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 2. | В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включено не более одной камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 3. | На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей хотя бы одна панель будет высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 4. | На железобетонном заводе изготавливают панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет не более одной панели высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 5. | В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя не менее двух радиоламп. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 6. | В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя хотя бы одна радиолампа? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 7. | При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 8. | При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 9. | Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будут ровно два подшипника высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 10. | Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будет хотя бы один подшипник высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 11. | Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется ровно одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 12. | Первый станок-автомат дает 10 % брака, второй – 15 %, а третий – 20 %. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется хотя бы одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 13. | В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены ровно два электродвигателя. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 14. | В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включен хотя бы один электродвигатель. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 15. | На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления не менее двух препятствий. Ответ записать с одним знаком после запятой без округления. |
| 16. | На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления двух препятствий. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
| 17. | Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий –0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст два экзамена. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 18. | Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 19. | Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета двумя радиолокаторами? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
| 20. | Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета хотя бы одним радиолокатором? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
| 21. | Три команды спортивного общества Асостязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества Вравны 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества Авыиграют две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 22. | Три команды спортивного общества Асостязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества Вравны 0,7; 0,6; 0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества Авыиграют хотя бы две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 23. | Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не менее двух станков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 24. | Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя ровно два станка. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 25. | Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей две высшего качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 26. | Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей хотя бы одна высшего качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 27. | Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в одном справочнике. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 28. | Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в двух справочниках. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 29. | Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 30. | Для аварийной сигнализации установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии не сработает ни один сигнализатор. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 31. | Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают три блока. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 32. | Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают менее трех блоков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 33. | Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 34. | Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее трех раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 35. | Первый рабочий изготавливает 40 %изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что ровно три изделия второго сорта. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
| 36. | Первый рабочий изготавливает 40 %изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что не менее трех изделий второго сорта. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 37. | Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют не менее трех билетов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 38. | Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют ровно три билета. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления. |
| 39. | Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена хотя бы один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
| 40. | Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления. |
Задача 4
| 1. | 20 % приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8. Найти: а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 2. | Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями, равными соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 3. | Среди поступивших на сборку деталей 30 % – с завода № 1, остальные – с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02, для завода № 2 – 0,03. Найти: а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная; б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она оказалась стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 4. | Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,8, для второго – 0,6, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества; б) взятая наугад деталь высшего качества изготовлена первым автоматом. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 5. | Комплектовщик получает для сборки 30 % деталей с завода № 1, 20 % – с завода № 2, остальные – с завода № 3. Вероятность того, что деталь с завода № 1 – высшего качества, равна 0,9, для деталей с завода № 2 – 0,8, для деталей с завода № 3 – 0,6. Найти вероятность того, что: а) случайно взятая деталь – высшего качества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 6. | Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2 %, на втором – 3 %. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное; б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 7. | На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, для станка № 2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей, обработанных на станке № 1, вдвое больше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, что: а) взятая наугад деталь будет стандартной; б) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 8. | В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдет сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа – 0,7. Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбоя; б) компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, – первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 9. | Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. а) Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен. б) Во время работы ЭВМ был обнаружен сбой. Найти вероятность того, что он возник в оперативной памяти. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 10. | По линии связи передано два сигнала типов А и В с вероятностями соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60 % сигналов типа А и 70 % типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал – типа А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 11. | Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов. Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, равны соответственно 0,4 и 0,6. При нарушении работы линии вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0,9, второго – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии, б) Индикатор сработал. Найти вероятность того, что он принадлежит первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 12. | Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятности того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий равны соответственно 0,8 и 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов, б) Резистор проработал гарантийное число часов. Найти вероятность того, что он принадлежит ко второй партии. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 13. | При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывают сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами типов Т-1 и Т-2, равны соответственно 0,7 и 0,3. а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, б) Сигнализатор сработал. Найти вероятность того, что он принадлежит к первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 14. | Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0,8, а для студента второй группы – 0,7. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попал в сборную института. б) Студент попал в сборную института. Найти вероятность того, что он учится во второй группе. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 15. | На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25 %, второй – 30 % и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3 %, с третьего – 1 %. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одной знаком после запятой без округления. |
| 16. | В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неисправных. а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию. б) Наугад взятый конденсатор оказался годным. Найти вероятность того, что конденсатор взят из первой коробки. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 17. | В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа первого типа и 8 второго типа. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинескопов первого типа равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероятность того, что: а) взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок; б) взятый наугад кинескоп, выдержавший гарантийный срок, первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 18. | У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 10 деталей, изготовленных на заводе № 2. Вероятности того, что детали выдержат гарантийный срок, равны соответственно для деталей с завода № 1 – 0,8; с завода № 2 – 0,9. а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь выдержит гарантийный срок. б) Взятая наугад деталь выдержала гарантийный срок. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на заводе № 2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 19. | Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении  . Статические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что: а) передаваемый сигнал принят; б) принятый сигнал – «тире». В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.
|
| 20. | Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат. б) Вертолет обнаружил спускаемый аппарат. Найти вероятность того, что он принадлежит к первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 21. | Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов второго типа. Надежность работы в течение времени Т для узла первого типа равна 0,8, а для узла второго типа – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный узел проработает в течение времени Т. б) Узел проработал гарантийное время Т. Найти вероятность того, что он принадлежит ко второму типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления. |
| 22. | Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс вокзала Аили в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала Аимеются в продаже билеты, равна 0,6, в кассах вокзала В– 0,5. а) Найти вероятность того, что в наугад выбранной кассе имеется в продаже билет. б) Пассажир купил билет. Найти вероятность того, что он купил билет в кассе вокзала В. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 23. | В вычислительной лаборатории 40 % микрокалькуляторов и 60 % компьютеров. Во время расчета 90 % микрокалькуляторов и 80 % компьютеров работают безотказно. а) Найти вероятность того, что наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета. б) Выбранная машина проработала безотказно во время расчета. Найти вероятность того, что это был компьютер. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 24. | В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80 % радиоламп первого типа и 90 % второго типа. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок; б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления. |
| 25. | На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с первого 30 %, со второго 40 % и с третьего 30 % всех деталей. Вероятность брака для первого автомата равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь – бракованная. б) Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она поступила с третьего автомата. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 26. | Имеется 6 коробок диодов типа Аи 8 коробок диодов типа В. Вероятность безотказной работы диода типа Аравна 0,8, типа В – 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад диод проработает гарантийное число часов. б) Взятый наугад диод проработал гарантийное число часов. Найти вероятность того, что он относится к типу А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления. |
| 27. | Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта равны для студентов первой группы – 0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность того, что: а) наугад взятый студент выполнит норму мастера спорта; б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 28. | На участке, изготавливающем болты, первый станок производит 25 %, второй – 35 %, третий – 40 % всех изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Найти вероятность того, что: а) взятый наугад болт – с дефектом; б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 29. | Приборы изготавливаются двумя заводами. Первый изготавливает 2/3 всех изделий, второй – 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом равна 0,9, вторым 0,8. а) Определить полную надежность прибора, поступившего в производство. б) Прибор проработал безотказно. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 30. | Три машины производят болты, причем первая машина производит 30 % всей продукции, вторая машина – 45 % и третья – 25 %. Доля брака в продукции первой машины 4 %, в продукции второй машины – 3 %, в продукции третьей – 5 %. а) Чему равна вероятность того, что наудачу взятый болт окажется дефектным? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он произведен первой машиной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления. |
| 31. | Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых 5 мишеней типа А,3 мишени типа Ви 3 мишени типа С. Вероятность попадания в мишень типа Аравна 0,4, в мишень типа В – 0,1, в мишень типа С – 0,15. Найти вероятность того, что: а) мишень будет поражена при одном выстреле, если неизвестно, по мишени какого типа он был сделан; б) при одном выстреле (если неизвестно, по мишени какого типа он сделан) будет поражена мишень типа А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 32. | Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. а) Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи? б) Был получен искаженный сигнал. Найти вероятность того, что он получен от первого датчика. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 33. | Две урны А и В содержат цветные шары в следующем составе: А – 5 зеленых и 7 красных, В – 4 зеленых и 2 красных. Какова вероятность вынуть зеленый шар, если: а) сначала случайно выбирается урна и затем вынимается из нее шар; б) шары из двух урн перекладываются в третью и шар вынимается из нее. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 34. | Два завода выпускают телевизоры. Первый из них делает 70 % всей продукции, второй – 30 %, причем 90 % продукции первого завода и 85 % второго – высшего качества, а) Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор – высшего качества. б) Выбранный наугад телевизор оказался высшего качества. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе? В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 35. | Надежность автомобиля, собранного из высококачественных деталей, равна 0,95. Если автомобиль собирают из деталей серийного производства, то его надежность равна 0,6. Высококачественные детали составляют 30 % общего числа деталей. а) Найти вероятность того, что наугад взятый автомобиль безотказно проработает в течение установленного времени. б) Автомобиль безотказно проработал в течение указанного времени. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления. |
| 36. | Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,5, 0,2 и 0,3 к одному из трех типов. Для каждого типа индикатора вероятности подачи сигнала при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 0,9; 0,8; 0,6. а) Найти вероятность получения сигнала от индикатора. б) От индикатора получен сигнал. Найти вероятность того, что индикатор – первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 37. | Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС равны соответственно 0,2; 0,4; 0,4. Вероятность соединения абонентов в случае подключения для первой АТС – 0,25, для второй – 0,4, для третьей – 0,35. а) Найти вероятность соединения абонентов. б) Соединение произошло. Найти вероятность того, что подключилась третья АТС. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 38. | На конвейер поступают одинаковые детали со станков А и В. Вероятность брака для станка Аравна 0,06, для станка В – 0,02. Со станка Апоступает в 4 раза больше деталей, чем со станка В. а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет стандартной. б) Взятая наугад деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она поступила со станка А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 39. | Вероятность повреждения электролинии на участке С1, протяженностью 8 км равна 0,3, на участке С2 протяженностью 11 км – 0,2, на участке С3 протяженностью 6 км – 0,15. а) Найти вероятность повреждения электролинии. б) Произошло повреждение электролинии. Найти вероятность того, что это повреждение – на участке С2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
| 40. | Имеется три одинаковые урны, в первой из которых 5 зеленых и 3 синих шара, во второй – 2 зеленых и 4 синих шара, в третьей – 1 зеленый и 3 синих. а) Найти вероятность того, что шар, взятый из наугад выбранной урны, будет зеленым. б) Наугад взятый шар оказался зеленым. Найти вероятность того, что он из первой урны. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления. |
Задача 5
Поиск по сайту: