Решение типовых задач

Задача 1. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 человек, заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28. По правилу умножения имеем способов. Задачу можно решить иначе. Мы имели выборку 3 элементов из 30 без возвращения, которые отличаются и порядком и составом, поэтому

.

Задача 2. В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для первого тура и номер столиков для каждой пары участников определяются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той же категории.

Решение. Число всех равновозможных случаев определения двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 элементов по 2, т.е. Число групп по 2 человека, которые могут быть составлены из 10 гроссмейстеров, равно Число групп, которые могут быть составлены из 6 международных мастеров, равно Из 4 мастеров может быть составлено пар. Сумма равна числу благоприятных случаев для встречи за первым столиком шахматистов одной и той же категории. Следовательно, искомая вероятность .

Задача 3. На стеллаже библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три учебника в переплете.

Интересующие нас события А можно предоставить в виде суммы событий: А=В+С+D. По теореме сложения,

Р (А) =Р (В) +Р (С)+ Р (D). (*)

Найдем вероятность событий В, С и D:

Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим

Р (А) = 45/91+20/91+2/91=67/91.

Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и (ни один из взятых учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому Отсюда

Вероятность появления события

Искомая вероятность

Задача 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) – деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятность равна

ого качества, а второй - 84%мат ир.

Искомая вероятность того, что взятая деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Задача 5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождевых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся: а) три дня; б) не менее трех дней; в) не более трех дней.

Решение. Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми. Вероятность выпадение дождя в любой день сентября р = 12/30 = 0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q = 1 –р = 1–0,4 = 0,6.

Вероятность того, что в n наблюдениях событие наступит m раз, определяется формулой биноминального распределения (формулой Бернулли).

а) По условию задачи n = 8, m = 3, p = 0,4, q = 0,6. Тогда

.

б) Поскольку n = 8, , то

в) Так как n = 8, то

Задача 6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить вероятность того, что найдутся 3 студента, у которых дни рождения совпадают.

Решение. В данном случае n = 730, m = 3, p = 1/365, q = 1–1/365 = 364/365. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа:

где

Имеем:

Задача 7. Проводится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х – число появления события А в четырех опытах. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание .

Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: Вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

В результате вычислений получим закон распределения в виде следующей таблицы:

	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

Далее находим:

Задача 8. Дана функция распределения СВ Х

Найти плотность распределения вероятностей f (x), математическое ожидание , дисперсию D [ X ] и вероятность попадания СВ Х на отрезок [1,2].

Решение. Так как

Далее вычисляем:

Задача 9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал (35;40)?

Решение. Для нормального распределения верна формула

Находим:

Т.к. то

Задача 10. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х

Х
P	0,4	р	0,1	0,2

Найти значение р, математическое ожидание и дисперсию D [ X ].

Решение. Т.к. то 0,4 + р + 0,1 + 0,2 = 1. Отсюда, р = 0,3.

Найдем математическое ожидание Х:

Найдем математическое ожидание :

Найдем дисперсию Х:

Задача 11. Для непрерывной случайной величины Х задана плотность распределения

Найти: а) параметр , б) математическое ожидание, дисперсию, .

Решение. а) Так как

Задача 12. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Решение: Неравенство Чебышева для СВ Х имеет вид

Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в виде

где

Тогда

Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем оценку

Поиск по сайту: