В) Решим данную систему методом обратной матрицы

Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,

где , ,

Решение матричного уравнения имеет вид Х = А^-1 В = N, где А^-1 – матрица, обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180 отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

Где А₁₁, А₁₂, …, А₃₃ – алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, …, а₃₃ матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

; ; ;

; ;

; ; .

Составим обратную матрицу

.

Найдем теперь матрицу Х.

Из равенства матриц Х = N или следует решение системы

х₁=2, х₂ = 1, х₃ = -3.

Задача 2. Методом исключения неизвестных найти общее и базисное

решение системы линейных уравнений

Решение.

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо описать совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х₁ и х₃ нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х₁ и х₂, для которых определитель . Будем считать неизвестную х₃ свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Полагая в общем решении х₃ = 0, получим базисное решение х₁ = ,

Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х₃ любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных решений.

Аналогично решаются системы с несколькими свободными неизвестными.

Задача 3. Даны матрицы и .

Найти произведение матриц АВ.

Решение.

Эти матрицы являются соответственными, так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцов второй:

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, пользуясь формулами Крамера.

Определитель данной системы

Вычислим определитель , и :

.

.

.

Решение системы:

Для того чтобы убедиться в правильности решения, подставим эти значения в исходную систему

Поиск по сайту: