 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Числовой ряд и его сумма. Исследование сходимости числовых рядов по определению
Практическое занятие 8,9
Задача 1. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Задача 2. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Решение. Разложим общий член ряда 
на простейшие дроби: 
.
Выпишем n первых членов ряда в виде столбца, располагая слагаемые с одинаковыми знаменателями, друг под другом.
,
,
,
,
,
……………………………………………………………………………………………..
,
,
,
.
Таким образом, 
, а 
.
По определению ряд сходится и его сумма равна 
.
Задача 3. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Задача 4. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Задача 5. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Задача 6. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Задача 7. Рассмотрев предел частичной суммы ряда 
, исследовать числовой ряд на сходимость.
Решение.
, 
,
,
Докажем методом математической индукции.
Под методом математической индукции понимают способ доказательства, который состоит из следующих частей:
1) База индукции. Проверяют истинность утверждения А (1).
2) Предположение индукции. Предполагают, что утверждение А (n) истинно для n = k, где k – произвольное натуральное число (k >1).
3) Индукционный шаг. Доказывают, что утверждение А (n) истинно и для n = k + 1 (при доказательстве обязательно используется предположение).
4) Вывод индукции. В силу произвольности k делают вывод о справедливости данного утверждения для всех значений n на основании принципа математической индукции.
База индукции уже проверена: ,
Предположение индукции. Предположим, что формула - верна.
Индукционный шаг. Докажем, что 
.
В самом деле, 
Вывод индукции. На основании принципа математической индукции формула верна для любого натурального n.
Домашнее задание. 1. Найти сумму ряда
1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. №№ 2546-2548, 2550-2552.
Поиск по сайту: