Перевірка гіпотези про характер розподілу

Практична робота №6

Дослідивши емпіричний розподіл статистичної вибірки значень метеорологічного показника, необхідно також встановити, яким теоретичним законом він описується.

Часто в таких випадках у дослідника виникають певні гіпотези про відповідність емпіричного розподілу тому чи іншому закону, наприклад нормальному або логнормальному. В такому разі висувається основна і альтернативна статистичні гіпотези наступного виду:

- H₀: розподіл значень метеорологічного показника відповідає закону розподілу А;

- H₁: розподіл не відповідає закону розподілу А.

В якості А може виступати будь-який закон розподілу.

Перевірка гіпотези про передбачуваний закон розподілу проводиться за допомогою так званих критеріїв згоди. Найчастіше використовуються критерії згоди Пірсона та Колмогорова-Смірнова.

Найбільш універсальним є χ²- критерій Пірсона, оскільки його можна застосувати до розподілу будь-якого виду.

Перевірка гіпотези про характер розподілу за допомогою критерія Пірсона χ² з використанням програми “STATISTICA”

Суть використання критерію Пірсона полягає в порівнянні емпіричних і теоретичних частот розподілу значень метеорологічної величини. Впевнитись в тому, що вони відрізняються, можна досить легко, порівнявши навіть візуально гістограму розподілу з апроксимаційною теоретичною кривою, підібраною за принципом найбільшої подібності до розподілу емпіричних значень.

Запропонований в 1900 р. К.Пірсоном критерій χ² дає можливість оцінити відносну різницю між емпіричними і теоретичними частотами розподілу. Він являє собою суму квадратів відхилень емпіричних частот від розрахованих за аналітичним рівнянням відповідного закону розподілу теоретичних частот , що відносяться до теоретичних частот

ге — число градацій (інтервалів) даної вибірки значень.

З цієї формули можна зрозуміти, що чим менша різниця , тим ближчим є емпіричний розподіл теоретичного, тому, чим менше значення критерію, тим з більшою достовірністю можна стверджувати, що емпіричний і теоретичний розподіл відповідають одному закону.

Алгоритм критерію Пірсона нескладний і полягає у виконанні наступних операцій:

1. Спочатку за даними вибірки розраховують характеристики емпіричного розподілу (таблиця розподілу частот, гістограма).

2. Потім підбирають закон розподілу за принципом найбільшої подібності теоретичного розподілу до розподілу емпіричних значень. Розраховують теоретичні частоти розподілу за аналітичною формулою відповідного теоретичного закону розподілу.

3. За формулою розраховують емпіричне значення критерію

4. За таблицею критичних значень критерію Пірсона визначають для необхідного рівня значимості та заданого числа степенів свободи . Число ступенів свободи розраховується за формулою , де — число інтервалів вибірки, — число параметрів запропонованого теоретичного розподілу, у випадку нормального або рівномірного розподілу .

5. У випадку, якщо , основну гіпотезу приймають, тобто в цьому випадку для вибраного рівня значимості можна стверджувати, що статистичний розподіл досліджуваної вибірки відповідає вибраному теоретичному закону. Якщо ж справджується зворотна нерівність , то приймають альтернативну гіпотезу: емпіричний розподіл відрізняється від вибраного теоретичного закону.

Приклад виконання розрахунків за допомогою програми “STATISTICA”

1.Для прикладу використаємо дані спостережень МС Львів за 2005 р., а саме – значення середньої добової температури повітря. Розмір вибірки 365 значень.

2.Вибираємо в меню програми розрахунковий модуль “Distribution Fitting”.

2. За допомогою наступного меню з 2 груп запропонованих розподілів «Continuous Distributions» - безперервні розподіли (6 основних типів та можливість додаткового вибору «Others”) та «Discrete Distributions» - дискретні розподіли (4 типи) вибираємо для послідуючого розрахунку один з теоретичних законів розподілу, який на нашу думку, враховуючи висновки візуального оцінювання емпіричного розподілу досліджуваного ряду, найбільше підходить до емпіричного розподілу.

3. Після цього натискаємо кнопку , вибираємо для розрахунків розрахунковий модуль “Fitting Continuous Distribution”, в якому вказуємо досліджуваний ряд (Var2)

та при необхідності ще раз вказуємо тип розподілу.

4. Вибираємо кнопку “Options” і вибираємо необхідний статистичний тест (в нашому випадку критерій Пірсона) для перевірки відповідності емпіричного розподілу передбачуваному вибраному із меню теоретичному закону (в нашому випадку нормальний закон)

В цьому режимі можна почергово підбирати усі доступні у меню програми теоретичні закони і вибрати оптимальний за найменшим значенням критерію χ².

5. Для швидкого розрахунку емпіричних і теоретичних частот розподілу досліджуваного ряду вибираємо кнопку “Quick”і отримуємо доступ до розрахунку емпіричних (“observed”) і теоретичних (“expected”) частот розподілу за допомогою кнопки меню .

4. Для графічного зображення результатів розрахунку використовуємо кнопку меню .

6. Аналізуємо отримані результати. Перевіряємо гіпотезу про відповідність емпіричного розподілу значень середньодобової температури по МС Львів теоретичному закону (нормальному) за результатами розрахунку критерію Пірсона, які відображені і в таблиці розподілу частот і на гістограмі.

= 55,50740

S= df = = 6

= p = 0,00000

Залишається порівняти розраховане значення χ² _emp з χ² _{cт .}

χ² _cт визначають за таблицею критичних значень критерію Пірсона (Табл. 7 Додатку до книги Г.Ф. Лакіна «Біометрія») 0,00000 та заданого числа ступенів свободи = 6.

Поиск по сайту: